22 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm ${\rm{M}}(4;3;20)$ và ${\rm{N}}(4;1000;20)$.

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục $d$ của mũi khoan và trục ${d^\prime }$ của giá đỡ có phương trình lần lượt là: $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 5 + 5{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng $d$ trên trụ cầu và đường thẳng ${d^\prime }$ trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:

$d:\{\begin{matrix}x=0 \\ y=0 \\ z=50+t\end{matrix}\text{và}{d}^{'}:\{\begin{matrix}x=20 \\ y={t}^{'} \\ z=50.\end{matrix}$

Xét vị trí tương đối giữa d và d'.

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia ${d^\prime }$ có phương trình lần lượt là:

$d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = 20}\\{z = 9}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 1 + 3{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xét vị trí tương đối giữa $d$ và ${d^\prime }$, chúng có vuông góc với nhau không?

Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3 D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là:

$d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}$.

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$ và mặt sàn sân khấu có phương trình $z = 0$.

Để làm thí nghiệm về chuyền động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giũ̃a mặt phằng nghiêng $(P)$ : $4x + 11z + 5 = 0$ và mặt sàn $(Q):z - 1 = 0$.

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là $M(3;3;1{,}5),N(3;4;1{,}5)$. Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

(H.vẽ) Xét tình huống sau:

Trong không gian Oxyz , mắt một người quan sát ở điếm ${\rm{M}}(2$; 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điếm ${\rm{N}}( - 1;0;8)$. Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm ${\rm{O}}(0;0;0)$, bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phắng Oxy .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng (Oxy) .

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ hay không?

Trên phần mềm mô phỏng 3 D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục $a$ của mũi khoan và một đường rãnh $b$ trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là:

$a:\{\begin{matrix}x=1 \\ y=2 \\ z=3t\end{matrix}\text{và}b:\{\begin{matrix}x=1+4{t}^{'} \\ y=2+2{t}^{'} \\ z=6.\end{matrix}$

a) Chứng minh a và b vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của $a$ và $b$.

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t,{\Delta _2}}\\{z = 0}\end{array}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 - 2s}\\{y = 2s}\\{z = 1.}\end{array}} \right.} \right.$

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ $A(1;2;0)$ và $B(3;5;0)$ với vận tốc không đổi tương ứng là ${\vec v_1} = (2;1;3),\overrightarrow {{v_2}} = (1;2;1)$. Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $(P):2x + 2z + 1 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + z + 7 = 0$.

a) Tính góc giữa $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$.

b) Tính góc hợp bời $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ với mặt đất $(Q)$ có phương trình $z = 0$.

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

${Δ}_{1}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\text{và}{Δ}_{2}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}\text{.}$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm $O$ (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3; - 4;2)$, $B( - 5; - 2;1)$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec u = (2; - 2;1)$ vởi tốc độ là $4{,}5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).

a) Viết phương trình đường cáp.

b) Giả sử sau $t(\;{\rm{s}})$ kể từ lúc xuất phát $(t \ge 0)$, cabin đến điểm $M$. Tìm tọa độ của điểm $M$.

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${x_B} = 550$. Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Trong không gian Oxyz , một viên đạn được bắn ra từ điểm ${\rm{A}}(1;3;4)$ và trong 3 giây, đằu đạn đì với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\vec v = (2;1{,}6)$. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mō̉i tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)$.

b) Mục tiêu đặt tại điểm $N( - 3;1; - 8)$.

Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560$^{0}$E (hướng tạo với hướng nam góc 60$^{0}$ và tạo với hướng đông góc 30$^{0}$ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $7\;{\rm{m}},6\;{\rm{m}},5\;{\rm{m}}$. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m . Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và (SBC).

Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là $40\;{\rm{cm}},44\;{\rm{cm}},48\;{\rm{cm}}$.

a) Khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3{,}5; - 2;0{,}4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3{,}5;5{,}5;0)$ trên đường băng EG (Hình 37 ).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang $(Oxy))$ có nằm trong phạm vi cho phép từ ${2{,}5}^{^{\circ}}$ đến ${3{,}5}^{^{\circ}}$ hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(5;0;0)$, $N(0; - 5;0),P(0;0;0{,}5)$. Tìm tọa độ của điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm toạ độ của điểm $D$ trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m .

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3{,}5;6{,}5;0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m . Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).