Toán · Lớp 12

42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

42 câu · 63 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1;3),\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2; - 8)$

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\vec b = ( - 2; - 1; - 3)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\cos \left( {{\rm{d}},{{\rm{d}}^\prime }} \right) =$ $\left| {\cos \left( {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right|$ .

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\vec b = ( - 2; - 1; - 3) = - \vec a$ . Do đó $\vec b$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

c) vi $\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

$\text{+)}(\text{d},{\text{d}}^{'})=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\text{nếu}{0}^{^{\circ}}\le (\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\le {90}^{^{\circ}}$

$+)(d,{d}^{'})={180}^{^{\circ}}-(\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\text{nếu}{90}^{^{\circ}}<(\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\le {180}^{^{\circ}}.$ Do đó $\ \mathrm{co}s(d,{d}^{'})=|\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})|=|\cos (\overrightarrow{b},\overrightarrow{{a}^{'}})|$

d) $\cos (d,{d}^{'})=|\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})|=\frac{|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{{a}^{'}}|}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{{a}^{'}}|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 2+3\cdot (-8)|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{3}^{2}}\cdot \sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}+{(-8)}^{2}}}=\frac{16}{7\sqrt{22}}$

Câu 2

1 điểm

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ ;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$ .

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$ . Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {33}^{^{\circ}}{33}^{'}$ .

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$ .

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$ . Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {63}^{^{\circ}}{36}^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$ .

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$ . Suy ra $(d,{d}^{'})={90}^{^{\circ}}$

Câu 3

1 điểm

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) d: $\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$ ;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 9 - 10t}\\{y = 7 - 10t}\\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 23 + 2t}\\{y = 57 + t}\\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 24 + {t^\prime }}\\{y = 6 + {t^\prime }}\\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.$

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;5;4),\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;5; - 4)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 2 + 5.5 + 4 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$ . Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {71{,}57}^{^{\circ}}$ .

b) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;6;6),\overrightarrow {{a^\prime }} = ( - 10; - 10;5)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot ( - 10) + 6 \cdot ( - 10) + 6 \cdot 5|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}$ . Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {63{,}61}^{^{\circ}}$ .

c) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1; - 5),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;1;1)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + ( - 5) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}$ . Suy ra $(\text{d},{\text{d}}^{'})\approx {77{,}83}^{^{\circ}}$ .

Câu 4

1 điểm

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $(P):x + z + 24 = 0$ ;

b) $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và $(P):2x + 4y - 2z + 23 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (2;2;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;0;1)$ .

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ . Suy ra $(d,(P))={45}^{^{\circ}}$ .

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;2; - 1)$ . Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;4; - 2)$ .

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1$ . Suy ra $(d,(P))={90}^{^{\circ}}$ .

Câu 5

1 điểm

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 11 + 3t}\\{y = - 11 + t}\\{z = - 21 - 2t}\end{array}} \right.$ và $(P):6x + 2y - 4z + 7 = 0$ ;

b) $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}$ và $(P):2x + 2y - 4z + 1 = 0$ ;

c) d: $\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}$ và $(P):2y - 4z + 7 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (3;1; - 2)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (6;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1$ . Suy ra $(\text{d},(\text{P}))={90}^{^{\circ}}$ .

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (2;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}$ . Suy ra $(d,(P))\approx {9{,}59}^{^{\circ}}$ .

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (4;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0$ . Suy ra $(\text{d},(\text{P}))={0}^{^{\circ}}$ .

Câu 6

1 điểm

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$ ;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$ ;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$ . Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$ .

Hình minh hoạ

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):3x + 7y - z + 4 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + y - 10z + 2025 = 0$ ;

b) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$ ;

c) $(P):x + z + 3 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3y + 3z + 5 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ . Cho biết $A(0;0;0)$ , $B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)$ . Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và $B{A^\prime }$ ;

b) hai mă̆t phằng $\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)$ và $\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)$ ;

c) đường thẳng $A{C^\prime }$ và mặt phẳng $\left( {{A^\prime }BD} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Tính góc giữa hai đường thẳng

d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 7}}{2}

và

{d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 7}}{3} = \frac{{z - 12}}{6}

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Tính góc giữa đường thẳng

d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}

và mặt phẳng

(P):3y - 3z + 1 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Tính góc giữa hai mặt phẳng

(P):4y + 4z + 1 = 0

và

\left( {{P^\prime }} \right):7x + 7z + 2 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ có đáy là tam giác OBC vuông tại $O$ . Cho biết $B(3;0;0),C(0;1;0),{O^\prime }(0;0;2)$ . Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng $B{O^\prime }$ và ${B^\prime }C$ ;

b) hai mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ và $(OBC)$ ;

c) đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

Δ:\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=-1+t \\ z=3\end{matrix}\text{và}{Δ}^{'}:\{\begin{matrix}x=1+2s \\ y=-2+2s \\ z=4+s.\end{matrix}

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Ví dụ 6 Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ biết:

${Δ}_{1}:\{\begin{matrix}x=1+{t}_{1} \\ y=2-\sqrt{3}{t}_{1} \\ z=3\end{matrix}\text{và}{Δ}_{2}:\{\begin{matrix}x=4-\sqrt{3}{t}_{2} \\ y=5+{t}_{2} \\ z=6\end{matrix}\ ({t}_{1},{t}_{2}\text{là tham số).}$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1},{\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.$

Chứng minh rằng ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm

Cho đường thẳng

\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}{\rm{. }}

Tính côsin của góc giữa đường thẳng

\Delta

và các trục toạ độ.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Cho mặt phẳng

(P)

có vectơ pháp tuyến

\vec n = (1;2;2)

và đường thẳng

\Delta

có vectơ chỉ phương

\vec u = (2;2; - 1)

. Tính sin của góc giữa đường thẳng

\Delta

và mặt phẳng

(P)

. Góc giữa đường thẳng

\Delta

và mặt phẳng

(P)

bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?a

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Cho mặt phẳng

(P)

có vectơ pháp tuyến

\vec n = (A;B;C)

. Tính sin của góc giữa mặt phẳng

(P)

và các trục toạ độ.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + {t_1}}\\{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}}\\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\\{y = 4 + {t_2}}\\{z = 5}\end{array}\quad \left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$ ;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Tính góc giữa đường thẳng

\Delta

và mặt phẳng

(P)

dưới đây:

\Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + \sqrt 3 t}\\{y = 2}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.

(

t

là tham số) và

(P):\sqrt 3 x + z - 2 = 0

;

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Tính góc giữa hai mặt phẳng

\left( {{P_1}} \right):x + y + 2z - 1 = 0

và

\left( {{P_2}} \right):2x - y + z - 2 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Câu 23

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng

d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}

và mặt phẳng

(\alpha ):x + y - 2z + 1 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 23

Câu 24

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng:

(\alpha ):2x + 2y - 4z + 1 = 0{\rm{ và }}(\beta ):x - z - 5 = 0.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 24

Câu 25

1 điểm

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là $S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$ với $a > 0($ Hình 36).

Hình minh hoạ

a) Xác định toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {SA}$ , $\overrightarrow {CD}$ . Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ . Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng $(SAC)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 25

Câu 26

1 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $O(0;0;0)$ , $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0$ .

a) Xác định tọa độ của điểm ${B^\prime }$ .

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ .

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right.$ ).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 26

Câu 27

1 điểm

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ .

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và (CDA' ${B^\prime }$ ).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ và (CDA ' $\left. {{B^\prime }} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 27

Câu 28

1 điểm

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):\sqrt 3 x + z + 5 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right): - \sqrt 3 x + z - 7 = 0$ .

Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 28

Câu 29

1 điểm

Cho mặt phẳng

(P)

có vectơ pháp tuyến

\vec n = (A;B;C).

Tính côsin của góc giữa mặt phẳng

(P)

và các mặt phẳng toạ độ.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 29

Câu 30

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng

$\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 30

Câu 31

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi trục Ox và mă̆t phẳng

(P):\sqrt 2 x - y + z + 2 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 31

Câu 32

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ , với:

$\Delta :\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1},(P):x - y + z - 1 = 0.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 32

Câu 33

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng

(P):x + 2y + 2z - 1 = 0

và (Q) :

x + y - z + 1 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 33

Câu 34

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng

(P)

x - \sqrt 2 y + z - 2 = 0

và

(Oxz):y = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 34

Câu 35

1 điểm

Trong không gian Oxyz, cho

A(0;0;4),B(0; - 3;0),C(0;3;0),D(3;0;0)

. Tính góc giữa hai mặt phẳng

(ABD)

và

(ACD)

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 35

Câu 36

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 36

Câu 37

1 điểm

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng

(P):x + 2y - z - 1 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 37

Câu 38

1 điểm

Tính góc giữa đường thẳng

\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}

và mặt phẳng

(P):x + y + z + 3 = 0

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 38

Câu 39

1 điểm

Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + 2{t_1}}\\{y = - 2 + {t_1}}\\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 7 + {t_2}}\\{y = - 3 - {t_2}}\\{z = 2{t_2}}\end{array}\left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = 5 - 2t}\\{z = 7 - 2t}\end{array}} \right.$ ( là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 10}}{{ - 1}}$ ;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 5}}{{ - 3}}$ và ${\Delta _2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 39

Câu 40

1 điểm

Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) $\Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 18 - \sqrt 3 t}\\{y = 11}\\{z = 5 + t}\end{array}\quad } \right.$ ( $t$ là tham số) và $(P):x - \sqrt 3 y - z - 3 = 0$ ;