Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta biết được:

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M$_{0}$(x$_{0}$; y$_{0}$; z$_{0}$) và nhận $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$ với t Î ℝ (t được gọi là tham số).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6;3;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

$\overrightarrow {AA'} = \left( {3;7;8} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng BB' vì AA' // BB'.

$\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C' vì AC // A'C'.

a) Ta có M Î d thì $\overrightarrow {{M_0}M}$ cùng phương với $\overrightarrow a$. Do đó $\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow a ,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$.

Mà $\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow a$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = {a_1}t\\y - {y_0} = {a_2}t\\z - {z_0} = {a_3}t\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$.

a) Đường thẳng d nhận $\overrightarrow a = \left( {8; - 4;12} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Có $\overrightarrow b = \frac{1}{4}\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

b) Cho t = 0, ta có A(−1; 0; 3).

Cho t = 1, ta có B(7; −4; 15).

Cho t = 2, ta có C(15; −8; 27).

Vậy 3 điểm A, B, C là ba điểm thuộc d.

Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0; −7) và nhận $\overrightarrow v = \left( {9;0; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 9t\\y = 0\\z = - 7 - 2t\end{array} \right.$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} - 4 = 5 + 9t\\0 = 0\\ - 5 = - 7 - 2t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\end{array} \right.$ (luôn đúng).

Vậy điểm M Î d.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = t\\\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = t\\\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t\end{array} \right.$.

Mà M Î d nên $\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

b) Đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; 1) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$ và phương trình chính tắc là $\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$.

a) Ta có $\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {{a_2}} = \left( {2;4;6} \right),\overrightarrow {{a_3}} = \left( {2;4;6} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d, d' và d".

Ta có 3 vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau.

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được

$\left\{ \begin{array}{l}4 = 2t'\\1 = 7 + 4t'\\1 = 2 + 6t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 2\\t' = - \frac{3}{2}\\t' = - \frac{1}{6}\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Vậy điểm M Ï d'.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d" ta được

$\left\{ \begin{array}{l}4 = 5 + 2t''\\1 = 3 + 4t''\\1 = 4 + 6t''\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t'' = \frac{{ - 1}}{2}\\t'' = \frac{{ - 1}}{2}\\t'' = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$.

Vậy điểm M Î d".

a) Đường thẳng d đi qua M(7; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {4; - 2; - 2} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(3; 5; 4) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'} = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow a$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được

$\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}$ (luôn đúng). Suy ra điểm M Î d'.

Vậy d ≡ d'.

b) Đường thẳng d đi qua M(0; 0; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {3;3;4} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(2; 9; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'} = \left( {3;3;4} \right) = \overrightarrow a$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta có:

$\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}$ (vô lí). Suy ra M Ï d'.

Vậy d // d'.

Đường thẳng d đi qua M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(10; 20; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'} = \left( {0;0;5} \right) = 5\overrightarrow a$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được

$\left\{ \begin{array}{l}1 = 10\\1 = 20\\1 = 5 + 5t'\end{array} \right.$ (vô lí). Suy ra M Ï d.

Vậy d // d'.

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a_2}} = \left( { - 2;1;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}}$ không cùng phương nên d và d' không song song với nhau.

Đường thẳng d" đi qua P(2; −2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a_3}} = \left( { - 2;1;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_3}}$ không cùng phương nên d và d" không song song với nhau.

b) $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\\t + 3t' = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right.$. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d' cắt nhau.

c) $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t'' = 1\\3t - t'' = - 4\\t + 3t'' = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\\ - 1 + 3 = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_1}} = \left( {2; - 1; - 3} \right)$, $\overrightarrow {{a_2}} = \left( {4;7;11} \right)$.

Ta có $\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{7}$ nên $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t'\\y = 7t'\\z = - 1 + 11t'\end{array} \right.$.

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2 + 4t' = 2t\\7t' = 1 - t\\ - 1 + 11t' = 2 - 3t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t' - 2t = - 2\\7t' + t = 1\\11t' + 3t = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t = 1\\11.0 + 3.1 = 3\end{array} \right.$.

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;2;2} \right)$, $\overrightarrow {{a_2}} = \left( {3;2;9} \right)$.

Ta có $\frac{1}{3} \ne \frac{2}{2}$ do đó $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thẳng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượt là:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t'\\y = 1 + 2t'\\z = 1 + 9t'\end{array} \right.$.

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4 + t = 2 + 3t'\\1 + 2t = 1 + 2t'\\1 + 2t = 1 + 9t'\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 3t' = - 2\\2t - 2t' = 0\\2t - 9t' = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 1\\2.1 - 9.1 = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_1}} = \left( {0;0;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_2}} = \left( {0;1;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}}$ không cùng phương với nhau nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 = 20\\0 = t'\\50 + t = 50\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Vậy d và d' chéo nhau.

a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {1;4;9} \right)$.

b) $\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}$ = 1.1 + 2.4 + (−1).9 = 0.

Do đó d ^ d'.

a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {1; - 3;1} \right)$, $\overrightarrow {a'} = \left( {1;1;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}$ = 1.1 + (−3).1 + 1.2 = 0.

Do đó d và d' vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {7;3;1} \right)$, $\overrightarrow {a'} = \left( {2;2;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}$ = 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 ≠ 0.

Do đó d và d' không vuông góc với nhau.

Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {0;0;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}$ = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0.

Do đó d và d' vuông góc với nhau.

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu (d, d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \overrightarrow a$ . Do đó $\overrightarrow b$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Vì $\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

+) (d, d') = $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)$ nếu $0^\circ \le \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right) \le 90^\circ$

+) $\left( {d,d'} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)$ nếu $90^\circ < \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right) \le 180^\circ$.

Do đó $\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right|$.

d) $\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.2 + 3.\left( { - 8} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{7\sqrt {22} }}$.

a) Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {3;5;4} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {2;5; - 4} \right)$.

Ta có $\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$.

Suy ra (d, d') ≈ 71,57°.

b) Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {3;6;6} \right),\overrightarrow {a'} = \left( { - 10; - 10;5} \right)$.

Ta có $\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}$.

Suy ra (d, d') ≈ 63,61°.

c) Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {2;1; - 5} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {1;1;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}$.

Suy ra (d, d') ≈ 77,83°.

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {3;3;9} \right)$.

Ta có $\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = \frac{0}{{3\sqrt {66} }} = 0$.

Suy ra (d, d') = 90°.

a) Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P). Kí hiệu (a, (P)).

b) Ta có α + β = 90° hay (d, d') + (D, d) = 90° Þ (d, d') = 90° − (D, d).

c) Vì (d, (P)) = (d, d') = 90° − (D, d).

Do đó sin(d, (P)) = sin(90° − (D, d)) = cos(D, d) = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right)} \right|$.

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {3;1; - 2} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {6;2; - 4} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1$.

Suy ra (d, (P)) = 90°.

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {2;4;2} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 4} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}$.

Suy ra (d, (P)) ≈ 9,59°.

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {4;4;2} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;2; - 4} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0$.

Suy ra (d, (P)) = 0°.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {0;1;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

$\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra (d, (P)) = 45°.

Ta có $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'.

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos (d,d') = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|$.

a) Mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow n = \left( {3;7; - 1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;1; - 10} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {59} .\sqrt {102} }}$.

Suy ra ((P), (P')) ≈ 75,06°.

b) Mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {3;1; - 5} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).1 + 1.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$.

Suy ra ((P), (P')) ≈ 73,98°.

c) Mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {0;3;3} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {36} }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra ((P), (P')) = 60°.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng với A.

Ta có A'(0; 0; 3), B(1; 0; 0), A(0; 0; 0), C(1; 5; 0), B'(1; 0; 3), D(0; 5; 0), C'(1; 5; 3)

a) Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng BA' nhận $\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left( {AC,BA'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}$.

Suy ra (AC, BA') ≈ 86,44°.

b) Ta có $\overrightarrow {BB'} = \left( {0;0;3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)$, $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 15; - 3;0} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {15; - 3;0} \right)$.

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận $\overrightarrow n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {5;1;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận $\overrightarrow {n'} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {5; - 1;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó $\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.5 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + 1} .\sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}$.

Suy ra ((BB'D'D), (AA'C'C)) ≈ 22,62°.

c) Ta có $\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)$, $\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {A'D} = \left( {0;5; - 3} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)$.

Đường thẳng AC' nhận $\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}$.

Suy ra (AC', (A'BD)) ≈ 28,21°.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4;0;11} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'} = \left( {0;0;1} \right)$.

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {173} }}$.

Suy ra ((P), (Q)) ≈ 33,25°.

a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1; - 5;0} \right)$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - 5t\\z = - 3\end{array} \right.$.

b) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;3} \right)$.

Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.$.

a) Đường thẳng b đi qua điểm M(1; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {5; - 3;2} \right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{2}$.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 6;4} \right)$.

Đường thẳng b đi qua hai điểm A(4; 7; 1) và nhận $\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}$.

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(3; −3; 2) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {1;3;7} \right).$

b) Phương trình tham số của d là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 2 + 7t\end{array} \right.$.

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right)$

Đường thẳng MN đi qua M(3; 3; 1,5) và nhận $\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3 + t\\z = 1{,}5\end{array} \right.$.

a) Đường thẳng d đi qua M(1; −1;−2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1;2;1} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'} = \left( {2;4;2} \right) = 2\overrightarrow a$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}1 = 2 + 2t'\\ - 1 = 3 + 4t'\\ - 2 = 2t'\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = \frac{{ - 1}}{2}\\t' = - 1\\t' = - 1\end{array} \right.$ (vô lí).

Suy ra d // d'.

b) Đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1;2;2} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(2; 1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'} = \left( {1;5;1} \right)$.

Có $\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = \left( { - 8;1;3} \right)$.

Có $\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = 1.\left( { - 8} \right) + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).3 = - 15 \ne 0$.

Do đó d và d' chéo nhau.

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {3;2;4} \right)$.

Vì d // d' nên đường thẳng d nhận $\overrightarrow a = \left( {3;2;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; 1) và nhận $\overrightarrow a = \left( {3;2;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2t\\z = 1 + 4t\end{array} \right.$.

a) Đường thẳng a đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {0;0;3} \right)$.

Đường thẳng b đi qua N(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'} = \left( {4;2;0} \right)$.

Có $\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0$. Suy ra a ^ b.

Ta xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\2 = 2 + 2t'\\3t = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = 0\\t = 2\end{array} \right.$ . Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Do đó a và b cắt nhau.

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng a ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 6\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này là (1; 2; 6).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {2;4;2} \right)$.

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {a'} = \left( {3;3;6} \right)$.

Có $\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 4.3 + 2.6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6}$.

Suy ra (d, d') ≈ 33,56°.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {2;2;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;3; - 3} \right)$.

$\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.3 + 1.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{9\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$.

Suy ra (d, (P)) ≈ 13,63°.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;4;4} \right)$.

Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n'} = \left( {7;0;7} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.7 + 4.0 + 4.7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2}} .\sqrt {{7^2} + {7^2}} }} = \frac{{28}}{{56}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra ((P), (P')) = 60°.

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;0;2} \right)$.

Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n'} = \left( {1;0;1} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1$.

Suy ra ((P), (P')) = 0°.

b) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

$\cos \left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra ((P'), (Q)) = 45°.

Chọn hệ trục như hình vẽ

O(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2), B'(3; 0; 2), C'(0; 1; 2).

a) Đường thẳng BO' nhận $\overrightarrow {BO'} = \left( { - 3;0;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos \left( {BO',B'C} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}$.

Suy ra (BO', B'C) ≈ 68,25°.

b) Mặt phẳng (OBC) Ì (Oxy) nên nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (O'BC) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1$ Û 2x + 6y + 3z = 6 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;6;3} \right)$.

$\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{7}$.

Suy ra ((O'BC), (OBC)) ≈ 64,62°.

c) Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (O'BC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;6;3} \right)$.

$\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}$.

Suy ra (B'C, (O'BC)) ≈ 13,24°.