(Đúng sai) 41 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}$ và mặt phẳng $(P)$ : $x - 2y - 2z + 1 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.

a) Vectơ $\vec u = (2024;2025;2026)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}$ và mặt phẳng $(P)$ : $x - 2y - 2z + 1 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.

b) Vectơ có toạ độ $(1;2;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}$ và mặt phẳng $(P)$ : $x - 2y - 2z + 1 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.

c) $\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}$ với $\vec u$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d,\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}$ và mặt phẳng $(P)$ : $x - 2y - 2z + 1 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.

d) $α\approx {50}^{^{\circ}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$.

a) Vectơ ${\vec n_1} = (2; - 3; - 6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$.

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$.

b) Vectơ có toạ độ $(2; - 2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$.

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$.

c) $\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}$ với ${\vec n_1},{\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$.

d) $α\approx {69}^{^{\circ}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 4; - 1;2} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Điểm $A$ thuộc đường thẳng $d.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Mặt phẳng qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là $4x + y - 2z - 3 = 0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Hình chiếu của $A$ lên $d$ là $A'(2\,;\, - 3\,;1\,)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa điểm $A$ và đường thẳng $d$ có phương trình là $5x - 2y - 4z - 5 = 0$.

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$có phương trình $2x + y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điểm $M\left( {0; - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$có phương trình $2x + y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$có phương trình $2x + y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.$.

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$có phương trình $2x + y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Giả sử $I\left( {a;b;c} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó ta có $a + 2b + 3c = 2$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4 + 1t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( { - 3;1; - 2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4 + 1t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {2;4;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {5;1; - 3} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4 + 1t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v$ là $\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {1; - 13;6} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4 + 1t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ chéo nhau.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1;2;7} \right),B\left( {0;4;4} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow a = \left( { - 2;3;1} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1;2;7} \right),B\left( {0;4;4} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;3} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1;2;7} \right),B\left( {0;4;4} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1;2;7} \right),B\left( {0;4;4} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Đường thẳng $AB$ và $d$ là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $2.$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = - 2 + 3t\end{array} \right.$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ qua $B$, vuông góc với đường thẳng $AB$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{x}{{10}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;0; - 1} \right),C\left( {0;2;3} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $BC$ là $M\left( {1;1;1} \right)$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;0; - 1} \right),C\left( {0;2;3} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Khoảng cách giữa hai điểm $B$,$C$ bằng $\sqrt 3$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;0; - 1} \right),C\left( {0;2;3} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Phương trình tham số của đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;0; - 1} \right),C\left( {0;2;3} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó $a + b + c = 3$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ và điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( { - 1;2;0} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ và điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ và điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

c) Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với $d$có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ và điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và chứa đường thẳng $d$ có phương trình là $x - y + 2z - 7 = 0$.

Cho hai đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và $\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z = - 2 + s\end{array} \right.$.

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta '$ có tọa độ là $\left( {1;\,2;\, - 2} \right)$;

Cho hai đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và $\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z = - 2 + s\end{array} \right.$.

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {2; - 1;3} \right)$;

Cho hai đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và $\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z = - 2 + s\end{array} \right.$.

c) Gọi $\vec u$, $\overrightarrow {u'}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$. Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$ là $\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right) = \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$;

Cho hai đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và $\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z = - 2 + s\end{array} \right.$.

d) Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$, $\Delta '$ là 60$^{0}$

Cho hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {1; - 1;2} \right)$;

Cho hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

b) $\vec x = \left( {1; - 1;1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d'$;

Cho hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

c) Độ dài của $\vec x$ bằng 1;

Cho hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

d) Hai đường thẳng $d$ và $d'$ vuông góc với nhau.

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 2z = 1$.

a) $\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$;

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 2z = 1$.

b) Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục $Ox$. Khi đó: $\cos \varphi = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$;

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 2z = 1$.

c) $E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$;

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 2z = 1$.

d) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng 30$^{0}$

Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0$.

a) $\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$;

Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0$.

b) $M\left( {0;3; - 2} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$;

Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0$.

c) Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0$.

d) Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại $N\left( { - 1;\,4;1} \right)$.

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0$.

a) $F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$;

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0$.

b) Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. Khi đó: $\sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt 6 }}$;

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0$.

c) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ bằng 60$^{0}$ khi $m = 2$;

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0$.

d) Hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ vuông góc với nhau khi $m = 1$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.OBCD$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {1;\,0;\,0} \right)$, $D\left( {0;\,2;\,0} \right)$, $S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)$.

a) Tọa độ điểm $C\left( {1;\, - 2;\,0} \right)$;

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.OBCD$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {1;\,0;\,0} \right)$, $D\left( {0;\,2;\,0} \right)$, $S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)$.

b) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $OB$ và $SC$. Khi đó: $\cos \varphi = \frac{1}{{\sqrt {14} }}$;

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.OBCD$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {1;\,0;\,0} \right)$, $D\left( {0;\,2;\,0} \right)$, $S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)$.

c) $\vec n = \left( {6;4;3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$;

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.OBCD$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {1;\,0;\,0} \right)$, $D\left( {0;\,2;\,0} \right)$, $S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)$.

d) Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng 16$^{0}$36'