Giải SGK Toán 12 Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.

Ta có: A(0; −2; 0), B($2\sqrt 3$; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'($2\sqrt 3$; 0; 6), C'(0; 2; 5).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)$.

Do đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$Þ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.

Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.

a) Vì $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của D và D' nên giá của $\overrightarrow u$ song song hoặc trùng với D, giá của $\overrightarrow {u'}$ song song hoặc trùng với D'. Do đó:

+) (D, D') $= \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$ nếu $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le 90^\circ$.

+) $\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$ nếu $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) > 90^\circ$.

b) $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|$.

Trục Oz có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {Oz,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}$.

Vậy (Oz, D) ≈ 48,2°.

a) Gọi α = (D, (P)), β = (D, D').

Có α + β = 90°. Suy ra (D, D') = 90° − (D, (P)).

b) Có sin(D, D') $= \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|$.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }}$.

Do đó (D, (P)) ≈ 28,1°.