Bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), B(−3; −4; 2), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi sợi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), biết kho có chiều cao bằng 8 m, hai mái nhà EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, AB = 10 m, AD = 24 m, AE = 7 m. Khi đó góc giữa hai mái nhà bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ)?

Trong một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ trục tọa Oxyz. Biết tia sáng có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và mặt sàn sân khấu là mặt phẳng (P) có phương trình y = 0. Tính góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu.

Trên một cánh đồng điện năng lượng mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ trục tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0. Tính góc hợp bởi (P) với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.

Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(4; 2; 3) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0. Biết vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn. Tính diện tích của vùng quan sát đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 8 m, 9 m, 10 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác trên mặt sàn với cạnh dài 8 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với B $\in$Ox, C $\in$ Oy, tia Oz cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {AA'}$. Chọn gốc tọa độ O trùng với trung điểm của AC và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 m.

Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u$ = (2; -2; 1) với tốc độ là 4,5 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) được mô hình hóa như các hình vẽ sau:

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí A(3; 2; -3) sẽ hạ cánh tới vị trí B(8; 8; 0). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi. Cho biết tọa độ các điểm lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; -4; 3), N(-5; -2; 2). Góc tạo bởi các sợi dây cáp MA với mặt phẳng sườn đồi bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Biết các tọa độ như hình vẽ. Tính độ dốc của mái nhà, tức góc tạo bởi mái nhà so với nền nhà (đơn vị độ, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một căn gác có chiếc cửa sổ như hình vẽ. Tính góc (theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng phần mười) giữa mặt nghiêng của chiếc cửa sổ với mặt sàn. Biết rằng khi mặt trời chiếu vuông góc với mặt sàn thì hình chiếu của chiếc cửa sổ là một hình vuông có cạnh 1,5 m và chiều cao so với mặt sàn của các điểm A, B, C lần lượt là 1,2 m, 1,3 m, 2, 4 m (hình vẽ minh họa).