Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1; - 1),\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;9)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2.3 + 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 9|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = \frac{0}{{3\sqrt {66} }} = 0$. Suy ra $(\text{d},{\text{d}}^{'})={90}^{^{\circ}}$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (0;1;1)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;0;1)$

$\sin (d,(P)) = \frac{{|0.0 + 1.0 + 1 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Suy ra $(\text{d},(\text{P}))={45}^{^{\circ}}$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (4;0;11)$

Mặt phẳng $({\rm{Q}})$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n^\prime }} = (0;0;1)$

Có $\cos ((P),(Q)) = \frac{{|4.0 + 0.0 + 11.1|}}{{\sqrt {{4^2} + {{11}^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {173} }}$. Suy ra $((P),(Q))\approx {33{,}25}^{^{\circ}}$

a) Mặt phảng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;0;2)$

Mặt phắng $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0;1)$

$\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.1 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1$. Suy ra ((P),(P’)) $={0}^{^{\circ}}$.

b) Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = (0;0;1)$

$\cos ((P),(Q)) = \frac{{|2.0 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}$ Suy ra ((P), (Q)) $={45}^{^{\circ}}$.

$\cos \left( {\left( {{P^\prime }} \right),(Q)} \right) = \frac{{|1.0 + 0.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}$Suy ra $(({P}^{'}),(Q))={45}^{^{\circ}}$.

Mặt phắng ( ${{\rm{O}}^\prime }{\rm{BC}}$ ) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 3{\rm{z}} = 6$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;6;3)$

$\cos \left( {\left( {{O^\prime }BC} \right),(OBC)} \right) = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{7}$. Suy ra $(({O}^{'}BC),(OBC))\approx {64{,}62}^{^{\circ}}$.

c) Đường thằng ${B^\prime }C$ nhận $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 3;1; - 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng ( O ' BC ) có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;6;3)$

$\sin \left( {{B^\prime }C,\left( {{O^\prime }BC} \right)} \right) = \frac{{|( - 3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}$. Suy ra $({B}^{'}{C}_{,}({O}^{'}BC))\approx {13{,}24}^{^{\circ}}$.

a) Do điểm $C(0;0;5)$ nên $AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})$;

$BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}$

b) Ta có: $\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)$ nên $[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}$

Vì thế, vectơ $\vec n = (0;1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OAB)$.

Mặt khác, do $\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)$ nên ta có:

- $\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}$,

suy ra $(CA,(OAB))\approx {50}^{^{\circ}}$. Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng ${50}^{^{\circ}}$.

${\rm{ - }}\sin (BC,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {BC} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {BC} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {BC} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2|}}{{3\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{3}{\rm{, }}$

suy ra $(BC,(OAB))\approx {42}^{^{\circ}}$. Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng ${42}^{^{\circ}}$.