Giải SGK Toán 12 Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.

Ta có: A(0; −2; 0), B($2\sqrt 3$; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'($2\sqrt 3$; 0; 6), C'(0; 2; 5).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)$.

Do đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$Þ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.

Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.

a) Vì $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của D và D' nên giá của $\overrightarrow u$ song song hoặc trùng với D, giá của $\overrightarrow {u'}$ song song hoặc trùng với D'. Do đó:

+) (D, D') $= \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$ nếu $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le 90^\circ$.

+) $\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)$ nếu $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) > 90^\circ$.

b) $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|$.

Trục Oz có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {Oz,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}$.

Vậy (Oz, D) ≈ 48,2°.

a) Gọi α = (D, (P)), β = (D, D').

Có α + β = 90°. Suy ra (D, D') = 90° − (D, (P)).

b) Có sin(D, D') $= \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|$.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }}$.

Do đó (D, (P)) ≈ 28,1°.

a) Đường thẳng D, D' tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$ nên D ^ (P) và D' ^ (Q).

Do đó ((P), (Q)) = (D, D').

b) Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)$.

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'} = \left( {0;1;0} \right)$.

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {1 + 2 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra ((P), (Oxz)) = 45°.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC.

Ta có: A(0; −2; 0), B($2\sqrt 3$; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'($2\sqrt 3$; 0; 6), C'(0; 2; 5).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)$.

Do đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$Þ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.

Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC.

Ta có: A(0; −2; 0), B($2\sqrt 3$; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'($2\sqrt 3$; 0; 6), C'(0; 2; 5).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là $\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)$.

Do đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$Þ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.

Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.

Đường thẳng D$_{1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng D$_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)$.

$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}$.

Suy ra (D$_{1}$, D$_{2}$) ≈ 70,9°.

Trục Oz có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Có $\sin \left( {Oz,(P)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Suy ra (Oz, (P)) ≈ 24,1°.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;3} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$.

Có $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.1 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}$.

Suy ra (D, (P)) ≈ 38,1°.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ^ AC, SO ^ BD nên SO ^ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $115\sqrt 2$.

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} = 7\sqrt {439}$.

Ta có $A\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right),B\left( {0; - 115\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right),S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)$.

Ta có $\overrightarrow {SA} = \left( { - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right),\overrightarrow {SB} = \left( {0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} } \right),$

$\overrightarrow {SC} = \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( { - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)$.

Mặt phẳng (SAB) nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận $\overrightarrow {n'} = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l}\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)\\ = \frac{{\left| { - {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} .\sqrt {{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} }}\end{array}$

$= \frac{{{{5290}^2}}}{{{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}}}$$\approx 0{,}3807$.

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

40 cm = 0,4 m, 44 cm = 0,44 m, 48 cm = 0,48 m.

Khi đó ta có A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48).

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0{,}04} \right)$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_D} = 1\\ - {y_D} = 0\\0{,}48 - {z_D} = 0{,}04\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 0\\{z_D} = 0{,}44\end{array} \right.$.

Suy ra D(0; 0; 0,44).

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đáy bể là 44 cm.

b) Ta có đáy bể nằm trong mặt phẳng Oxy: z = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có$\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0{,}04} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0{,}08} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0{,}04; - 0{,}04; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 1; 0,4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0{,}04; - 0{,}04; - 1} \right)$ có phương trình là:

0,04x – 0,04(y – 1) – (z – 0,4) = 0 Û 0,04x – 0,04y – z + 0,44 = 0.

Do đó góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.

Có $\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {{{0{,}04}^2} + {{\left( { - 0{,}04} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}$ $= \frac{{25}}{{\sqrt {627} }}$.

Suy ra ((ABCD), (Oxy)) ≈ 3,2°.