Bài tập Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đáp án: $45$

$\left( P \right)$qua O và nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;2} \right)$làm VTPT

$\left( Q \right):x - y - 11 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$

Ta có $\cos (\widehat{(P),(Q)})=\frac{|\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{n}|}{OH.|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{((P),(Q))}={45}^{0}$

Đáp án: 2

Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là$\overrightarrow {{n_p}} = \left( {1; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;2m - 1} \right)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$ nên

$$\begin{array}{l}{\rm{cos}}\frac{\pi }{4} = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_p}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {1 + 2(2m - 1)} \right|}}{{3.\sqrt {1 + {{(2m - 1)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\left( {4m - 1} \right)^2} = 9\left( {4{m^2} - 4m + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 16 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right..\end{array}$$

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là $1$, ta được tọa độ các điểm như sau :

$M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right)$$,C'\left( {0;1;0} \right)$$,D'\left( {1;1;0} \right)$ và $A\left( {1;0;1} \right)$$,B\left( {0;0;1} \right)$.

Khi đó ${\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left( {0;1;3} \right)$$;{\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left( {0;5;3} \right)$ nên $\cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}$$= \frac{{\left| {5.1 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}$ $= \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}$.

Suy ra $\sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}$$= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}}$$= \frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}$.

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O \equiv A$ như hình vẽ, chọn $a = 1$ đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm $B\left( {1;0;0} \right)$, $C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)$ suy ra trung điểm của $BC$ là $H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, vì $H$ là hình chiếu của $A'$ nên suy ra tọa độ của $A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)$. Ta tìm tọa độ $B'$, gọi tọa độ $B'\left( {x;y;z} \right)$ khi đó ta có $\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB}$ nên tọa độ $B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)$. Ta cũng có $\overrightarrow {B'C} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)$ và $\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)$. Từ đó ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}$ $= \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}$.

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $A'C'$ là hình chiếu vuông góc của $A'C$ trên $(ABCD)\Rightarrow (A'C,(ABCD))=(A'C,A'C')=\widehat{CA'C'}={30}^{0}.$

Ta có $AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 ;\tan \widehat {CA'C'} = \frac{{CC'}}{{A'C'}} \Rightarrow CC' = a.$

Kết hợp với giả thiết ta được $ABB'A'$ là hình vuông và có $H$ là tâm.

Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $A'D'\& A'A.$

Ta có $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{3};$$A'K = \sqrt {A'{A^2} - A{K^2}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }};$

$\frac{1}{{K{F^2}}} = \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{A'{K^2}}} \Rightarrow KF = \frac{{a\sqrt 2 }}{3};KE = \sqrt {A'{K^2} - K{F^2}} \Rightarrow KE = \frac{a}{3}.$

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thỏa mãn $O \equiv A'$ còn $D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A$ theo thứ tự thuộc các tia $Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.$ Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

$A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;0),F(0;0;\frac{{a\sqrt 2 }}{3}).$

Mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ là mặt phẳng $(yOz)$ nên có VTPT là ${\overrightarrow n _1} = (1;0;0);$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AH} } \right] = \frac{{{a^2}}}{6}{\overrightarrow n _2},{\rm{ }}{\overrightarrow n _2}(2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 ).$

Mặt phẳng $(AKH)$có VTPT là ${\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng$\left( {AHK} \right)$ và $\left( {ABB'A'} \right)$.

Ta có $cosα=|cos({\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2})|=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow α={45}^{0}.$