Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn B

Hai mặt phẳng (P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;4;3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 4; - 3} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 4.\left( { - 4} \right) + 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{26}}{{26}} = 1$.

Suy ra (d1, d2) = 0°.

Chọn D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Đường thẳng AB và AC lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra (AB, AC) = 60°.

Chọn A

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Chọn B

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra (d, (P)) = 30°.