Giải SGK Toán 12 Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức s(t) = t$^{3}$ – 9t$^{2}$ + 15t, t ³ 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Quan sát đồ thị của hàm số y = x$^{2}$ (H.1.2)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Xét hàm số $y=\{\begin{matrix}-x\ n{ê}^{'}u\ x<-1 \\ 1\ n{ê}^{'}u\ -1\le x\le 1 \\ x\ n{ê}^{'}u\ x>1\end{matrix}$ có đồ thị như hình 1.6

a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng (−∞; −1), (1; +∞). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

Cho hàm số y = f(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2x + 1.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x mà f'(x) = 0.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^{3}+3{x}^{2}+5x+2$;

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

b) $y=\frac{-{x}^{2}+5x-7}{x-2}$.

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).

Quan sát đồ thị của hàm số y = x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 4 (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^{3}-3{x}^{2}+8x+1$.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0.

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x$^{4}$ – 3x$^{2}$ + 1;

Tìm cực trị của các hàm số sau:

b) $y=\frac{-{x}^{2}+2x-1}{x+2}$.

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức : h(t) = 2 + 24,5t – 4,9t$^{2}$.

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y={x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}$ (H.1.11);

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+3x+1$;

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$;

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

b) $y=\frac{{x}^{2}+x+4}{x-3}$.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-{x}^{2}}$;

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

b) $y=\frac{x}{{x}^{2}+1}$.

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N(t)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge 0,$ trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

Cho hàm số y = f(x) = |x|.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ và $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.