Giải SGK Toán 12 Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Ta có s(t) = t$^{3}$ – 9t$^{2}$ + 15t.

Có v(t) = s'(t) = 3t$^{2}$ – 18t + 15.

Chất điểm chuyển động sang phải khi v(t) > 0.

Có v(t) > 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix}t<1 \\ t>5\end{matrix}$ và v(t) < 0 $\Leftrightarrow$ 1 < t < 5.

Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).

Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).

a) Hàm số đồng trên khoảng (0; +∞).

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).

a) +) Với x < −1, ta có y' = −1 < 0.

+) Với x > 1, ta có y' = 1 > 0.

Nhận xét:

+ Với x ∈ (−∞; −1), ta có y' < 0 thì hàm số nghịch biến.

+ Với x ∈ (1; +∞), ta có y' > 0 thì hàm số đồng biến.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 2.

y' > 0 với x ∈ (−∞; 1) và y' < 0 với x ∈ (1; +∞).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

a) Có f'(x) = 3x$^{2}$ – 6x + 2.

f’(x) = 0 Û 3x$^{2}$ – 6x + 2 = 0 Û $[\begin{matrix}x=\frac{3-\sqrt{3}}{3} \\ x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\end{matrix}$.

c) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;\frac{3-\sqrt{3}}{3})$ và $(\frac{3+\sqrt{3}}{3};+\infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{3-\sqrt{3}}{3};\frac{3+\sqrt{3}}{3})$.

a) s(t) = t$^{3}$ – 9t$^{2}$ + 15t.

Có v(t) = s'(t) = 3t$^{2}$ – 18t + 15.

b) Có v(t) > 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix}t<1 \\ t>5\end{matrix}$ và v(t) < 0 $\Leftrightarrow$ 1 < t < 5.

Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).

Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).

Từ đồ thị ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và y$_{CĐ}$ = y(−1) = 5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y$_{CT}$ = y(1) = 1.

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = x$^{2}$ – 6x + 8.

Có y' = 0 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ – 6x + 8 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 4 hoặc x = 2.

b) Ta có bảng biến thiên

c) Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và y$_{CĐ}$ = y(2) = $\frac{23}{3}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y$_{CT}$ = y(4) = $\frac{19}{3}$.

Ta có nếu hàm số f(x) có một cực trị tại x = x$_{0}$ thì đạo hàm của hàm số đó f'(x) tại x = x$_{0}$ phải bằng 0 hoặc không tồn tại.

Nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x$_{0}$ có nghĩa là f'(x) không chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại khi đi từ một phía của x$_{0}$ sang phía khác. Điều này có nghĩa là f'(x) không đạt đến giá trị 0 tại x = x$_{0}$. Do đó x$_{0}$ không thể là một điểm cực trị.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có h'(t) = −9,8t + 24,5; h'(t) = 0 Û $t=\frac{5}{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có tại thời điểm $t=\frac{5}{2}$ thì vật đạt độ cao lớn nhất là $\frac{261}{8}$

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = x$^{2}$ – 4x + 3.

Hàm số đồng biến khi y' > 0 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ – 4x + 3 > 0 $\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix}x<1 \\ x>3\end{matrix}$.

Hàm số nghịch biến khi y' < 0 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ – 4x + 3 < 0 $\Leftrightarrow$ 1 < x < 3.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞); nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −3x$^{2}$ + 4x – 5

$\begin{matrix}=-3({x}^{2}-\frac{4}{3}x)-5 \\ =-3({x}^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9})+\frac{4}{3}-5 \\ =-3{(x-\frac{2}{3})}^{2}-\frac{11}{3}<0,\forall x\end{matrix}$

Do đó hàm số luôn nghịch biến.

a) Tập xác định của hàm số là ℝ\{−2}.

Có ${y}^{'}=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{{(x+2)}^{2}}=\frac{5}{{(x+2)}^{2}}>0,\forall x\ne -2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên cách khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

a) Tập xác định của hàm số là D = [−2; 2].

Có ${y}^{'}=\frac{{(4-{x}^{2})}^{'}}{2\sqrt{4-{x}^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$ ; y' = 0 Û x = 0.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2).

a) Số dân vào năm 2000 (t = 0) của thị trấn đó là: $N(0)=\frac{25.0+10}{0+5}=2$ nghìn người.

Sau 15 năm kể từ năm 2000 số dân của thị trấn đó là: $N(15)=\frac{25.15+10}{15+5}=19{,}25$.

Vậy số dân của thị trấn đó vào năm 2015 là 19250 người.

b) Có ${N}^{'}(t)=\frac{25(t+5)-(25t+10)}{{(t+5)}^{2}}=\frac{115}{{(t+5)}^{2}}$;

$\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }N(t)=\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{25t+10}{t+5}=\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$.

Vì N'(t) > 0, ∀t do đó hàm số N(t) là hàm đồng biến hơn nữa $\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }N(t)=25$ do đó dân số của thị trấn đó sẽ không vượt quá 25 nghìn người.

Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau

a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (2; 4) và (6; +∞).

b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 6.

Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

b) Theo định nghĩa, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x$_{0}$ nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x$_{0}$) với mọi x ∈ (x$_{0}$ – h; x$_{0}$ + h) và x ≠ x$_{0}$.

Ở đây, x$_{0}$ = 0. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– h; h).

Với mọi x ∈ (– h; h), ta có |x| < h.

Mà |x| > 0, với mọi x ≠ 0. Do đó f(x) = |x| > 0 = f(0), với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ 0.

Vậy ta chứng minh được rằng với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ x$_{0}$, f(x) > f(0). Điều này chứng tỏ rằng hàm số có cực tiểu tại x = 0.