Một chất điểm chuyển động theo quy luật S=−31t3+4t2+9t với t ≥ 0 (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, khoảng thời gian nào vận tốc của vật tăng?
AĐáp án A: (0; 5);
BĐáp án B: (0; 4);
CĐáp án C: (4; 10);
DĐáp án D: (3; 10).
Xem đáp án và lời giải
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án:B
Đáp án đúng là: B
Ta có v = S' = −t2 + 8t + 9, t ∈ (0; 10).
Có v'(t) = −2t + 8 ; v'(t) = 0 ⇔ t = 4 ∈ (0; 10).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có trong khoảng thời gian (0; 4) thì vận tốc của vật tăng.
Câu 2
1 điểm
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2 – t3, t = 0; 1; 2; ...; 25. Nếu coi f(t) là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì đạo hàm f'(t*)* được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t*.* Xác định khoảng thời gian mà tốc độ truyền bệnh giảm?
AĐáp án A: (0; 15);
BĐáp án B: (0; 10);
CĐáp án C: (15; 25);
DĐáp án D: (10; 25).
Xem đáp án và lời giải
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án:C
Đáp án đúng là: C
Có f'(t) = 90t – 3t2; f"(t) = 90 – 6t; f"(t) = 0 ⇔ t = 15.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có khoảng thời gian (15; 25) ngày thì tốc độ truyền bệnh giảm.
Câu 3
1 điểm
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng nào thì năng lượng tiêu hao của cá giảm?
AĐáp án A: (6; 10);
BĐáp án B: (6; 12);
CĐáp án C: (6; 9);
DĐáp án D: (9; +∞).
Xem đáp án và lời giải
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án:C
Đáp án đúng là: C
Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v – 6 (km/h)
Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km là t=v−6300(v>6).
Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là:
E(v) = cv3t =cv3.v−6300=300c.v−6v3.
Có E′(v)=600cv2(v−6)2v−9;E′(v)=0⇒v=9 (vì v > 6).
Bảng biến thiên:
Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng (6; 9) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm.
Câu 4
1 điểm
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 – x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng nào để huyết áp bệnh nhân tăng?
AĐáp án A: (0; 20);
BĐáp án B: (0; 30);
CĐáp án C: (20; +∞);
DĐáp án D: (0; 25).
Xem đáp án và lời giải
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án:A
Đáp án đúng là: A
Ta có: G(x) = 0,75x2 – 0,025x3; G'(x) = 1,5x – 0,075x2; G'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 20.
Bảng biến thiên:
Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng (0; 20) thì huyết áp bệnh nhân tăng.
Câu 5
1 điểm
Để giảm nhiệt độ trong phòng từ 28°C, một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi T (đơn vị °C) là nhiệt độ phòng ở phút thứ t được cho bởi công thức T = −0,008t3 – 0,16t + 28 với t ∈ [1; 10]. Trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động, nhiệt độ trong phòng tăng hay giảm?
AĐáp án A: Tăng;
BĐáp án B: Giảm;
CĐáp án C: Tăng rồi giảm;
DĐáp án D: Giảm rồi tăng .
Xem đáp án và lời giải
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án:B
Đáp án đúng là: B
Ta có T' = −0,024t2 – 0,16 < 0, ∀t ∈ [1; 10].
Suy ra hàm số T nghịch biến trên đoạn [1; 10].
Do đó nhiệt độ trong phòng giảm.
Câu 6
1 điểm
Công suất P (đơn vị W) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin 12V được cho bởi công thức P = 12I – 0,5I2 với I (đơn vị A) là cường độ dòng điện. Hỏi công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện nào?
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0,25x2(30 – x) trong đó x (mg) và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu?
Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tại thời điểm t (giờ) (0 ≤ t ≤ 24) trong ngày được xác định bởi công thức h=2cos(12πt+3π)+5. Tìm khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.
Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ mg/l của thuốc trong máu sau x phút được xác định bởi công thức: C(x)=x2+230x.
Để đưa ra những lời khuyên và cách xử lí phù hợp cho bệnh nhân, ta cần tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng. Em hãy cho biết hàm nồng độ thuốc trong máu C(x) đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm ?
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t3 – 6t2 + 9t với t ≥ 0. Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t), v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t. Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
AĐáp án A: Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (3; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (1; 3);
BĐáp án B: Vận tốc giảm trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và tăng trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2);
CĐáp án C: Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (1; 2) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 1);
DĐáp án D: Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2).
Chi phí sản xuất của một công ty được cho bởi: C(x) = x3 – 6x2 + 9x (x ≥ 0). Khi số lượng sản phẩm tăng từ x = 1 đến x = 3 thì chi phí sản xuất thay đổi như thế nào?
Quãng đường (m) mà một vận động viên chạy được sau t giây được cho bởi hàm số s(t) = t3 – 9t2 + 24t (t ≥ 0). Vận tốc của vận động viên đạt cực tiểu tại thời điểm nào?
Lợi nhuận (triệu đồng) của cửa hàng được cho bởi L(x) = −x3 + 6x2 – 9x + 20 (x > 0). Khi số lượng sản phẩm bán ra tăng từ x = 1 đến x = 3 thì lợi nhuận của cửa hàng thay đổi như thế nào?
Năng suất (sản phẩm/giờ) của một công nhân sau x giờ làm việc được cho bởi hàm số N(x) = x3 – 6x2 + 9x (x ≥ 0, x là số giờ làm việc). Trong khoảng từ x = 0 đến x = 5, năng suất của công nhân giảm trong giai đoạn nào?
Chi phí vận hành (triệu đồng) của một nhà máy sau x giờ hoạt động được cho bởi hàm số C(x) = x3 – 6x2 + 9x + 50 (x ≥ 0, x là số giờ hoạt động). Trong khoảng từ x = 0 đến x = 5 chi phí vận hành đạt cực tiểu tại số giờ nào?
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t3 – 6t2 + 9t (t ≥ 0). Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t); v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu a(t).
aÝ a: Hàm v(t) = 3t2 – 12t + 9.
bÝ b: Hàm a(t) = 6t – 12.
cÝ c: Trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm tăng.
dÝ d: Từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm giảm.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi hàm số có công thức c(t)=t2+1t (mg/l). Khi đó:
aÝ a: Nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau 3 giờ là c(3)=103 (mg/l).
bÝ b: Đạo hàm của hàm số c(t)=t2+1t là c′(t)=(t2+1)21−t2.
cÝ c: Nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân tăng trong khoảng t Î (0; 2).
dÝ d: Nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân giảm trong khoảng t Î (0; 2).
Một quốc gia đang theo dõi tốc độ tăng trưởng dân số hàng năm. Sau t năm kể từ khi bắt đầu khảo sát, tốc độ tăng trưởng (nghìn người/năm) được mô tả bởi hàm số P(t)=t+1t,t>0.
aÝ a: Tốc độ tăng trưởng dân số luôn tăng.
bÝ b: Trong suốt quá trình khảo sát, tốc độ tăng trưởng không có cực trị.
cÝ c: Nếu kéo dài thời gian rất lâu, tốc độ tăng trưởng tiền gần đến 1 nghìn người/năm.
dÝ d: Sau đúng 1 năm khảo sát (t = 1), tốc độ tăng trưởng đạt cực đại.
Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử nhận thấy chi phí sản xuất (triệu đồng) phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x (nghìn chiếc) theo hàm số C(x) = x3– 12x2 + 36x (x > 0). Khi đó:
aÝ a: Khi số lượng sản phẩm tăng từ 0 đến 2 nghìn chiếc, chi phí sản xuất tăng.
bÝ b: Khi số lượng sản phẩm tăng từ 2 đến 6 nghìn chiếc, chi phí sản xuất giảm.
Doanh thu (triệu đồng) của một cửa hàng bánh ngọt phụ thuộc vào số lượng bánh bán ra x (nghìn chiếc bánh ngọt) theo hàm số R(x) = −x3 + 12x2 (x > 0). Doanh thu cực đại mà cửa hàng thu được là bao nhiêu triệu đồng?
Một cửa hàng kinh doanh xe máy loại Honda Vision có lợi nhuận (triệu đồng) phụ thuộc vào số lượng xe bán ra x (tính theo chục chiếc) theo hàm số L(x) = −x3 + 24x2, x > 0. Để lợi nhuận đạt cực đại thì số lượng xe máy bán ra là bao nhiêu chiếc?
Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=−3t3+18t2−35t+10, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Trong 40 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian (a; b). Tính giá trị của biểu thức P = 2b – 3a.
Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam). Biết rằng phải thả số lượng cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ thuộc khoảng (a; b) thì cân nặng trung bình của số cá đó tăng. Tính b – a.
Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức V(t)=1001(30t3−4t4) với 0 ≤ t ≤ 90. Tốc độ bơm nước ở thời điểm t được tính theo công thức v(t) = V'(t). Thời điểm tốc độ bơm nước đạt cực đại là bao nhiêu phút?
