Bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Có y' = −2x.f'(2 – x$^{2}$).

Có y' > 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < 2 - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}2 - {x^2} < 1\\2 - {x^2} > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < - 1\end{array} \right.$.

Do đó hàm số đồng biến trên (0; 1). Khi đó a = 0; b = 1 và a + 2b = 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = −2f'(3 – 2x).

Có g'(x) > 0 $\Leftrightarrow$ f'(3 – 2x) < 0 $\Leftrightarrow$ 1 < 3 – 2x < 2 $\Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {\frac{1}{2};1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số trên, ta có bảng biến thiên như sau:

$\Rightarrow$ f(x) < 0,∀x ≠ ±2.

Ta có g'(x) = 2f(x).f'(x).

$g'\left( x \right) = 2f\left( x \right).f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < 2\\x < - 2\end{array} \right.$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Đáp án đúng là: B

Ta có f'(x) = x$^{2}$(x – 9)(x – 4)$^{2}$ $\Rightarrow$ g'(x) = 2x.x$^{4}$(x$^{2}$ – 9)(x$^{2}$ – 4)$^{2}$.

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x$^{5}$(x$^{2}$ – 9)(x$^{2}$ – 4)$^{2}$ = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = ±3 hoặc x = ±2.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f(x$^{2}$) đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Đáp án đúng là: C

Ta có: g'(x) = 2x.f'(x$^{2}$ - 2); $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = - 1\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.$.

Ta có g'(x) > 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 < 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - 2 < x < 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\ - 2 < x < 0\end{array} \right.$.

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).