Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 17. Hàm số liên tục có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là ${v_a} = \frac{{180}}{3} = 60$ (km/h).

Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Tại thời điểm xuất phát t$_{0}$, vận tốc của xe v(t$_{0}$) = 0 nên có một thời điểm t$_{1}$ xe chạy với vận tốc v(t$_{1}$) > v$_{a}$.

Xét hàm số f(t) = v(t) – v$_{a}$, rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t$_{0}$; t$_{1}$].

Hơn nữa, ta có f(t$_{0}$) = – v$_{a}$ < 0, f(t$_{1}$) = v(t$_{1}$) – v$_{a}$ > 0 (do v(t$_{1}$) > v$_{a}$), nên tồn tại thời điểm t$^{*}$ thuộc khoảng (t$_{0}$; t$_{1}$) sao cho f(t$^{*}$) = 0. Khi đó ta có v(t$^{*}$) – v$_{a}$ = 0 hay v(t$^{*}$) = v$_{a}$ = 60.

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải:

Ta có: f(1) = 2.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ = f(1).

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định trên ℝ, do đó x$_{0}$ = 0 thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0$, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0$.

Lại có f(0) = 0 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$. Vậy hàm số f(x) liên tục tại x$_{0}$ = 0.

Lời giải:

+) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.$.

Hàm số f(x) xác định trên [0; 1], do đó $x = \frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} \left( {2x} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = 1$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = 1$

Mà $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy hàm số f(x) liên tục tại $x = \frac{1}{2}$.

+) Hàm số $g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.$.

Hàm số g(x) xác định trên [0; 1], do đó $x = \frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} x = \frac{1}{2}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right)$.

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại $x = \frac{1}{2}$, do đó hàm số g(x) gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$.

+) Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.

Lời giải:

Biểu thức $\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}$ có nghĩa khi x + 2 ≠ 0 hay x ≠ – 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).