Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 17. Hàm số liên tục có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là ${v_a} = \frac{{180}}{3} = 60$ (km/h).

Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Tại thời điểm xuất phát t$_{0}$, vận tốc của xe v(t$_{0}$) = 0 nên có một thời điểm t$_{1}$ xe chạy với vận tốc v(t$_{1}$) > v$_{a}$.

Xét hàm số f(t) = v(t) – v$_{a}$, rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t$_{0}$; t$_{1}$].

Hơn nữa, ta có f(t$_{0}$) = – v$_{a}$ < 0, f(t$_{1}$) = v(t$_{1}$) – v$_{a}$ > 0 (do v(t$_{1}$) > v$_{a}$), nên tồn tại thời điểm t$^{*}$ thuộc khoảng (t$_{0}$; t$_{1}$) sao cho f(t$^{*}$) = 0. Khi đó ta có v(t$^{*}$) – v$_{a}$ = 0 hay v(t$^{*}$) = v$_{a}$ = 60.

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải:

Ta có: f(1) = 2.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ = f(1).

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định trên ℝ, do đó x$_{0}$ = 0 thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0$, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0$.

Lại có f(0) = 0 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$. Vậy hàm số f(x) liên tục tại x$_{0}$ = 0.

Lời giải:

+) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.$.

Hàm số f(x) xác định trên [0; 1], do đó $x = \frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} \left( {2x} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = 1$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = 1$

Mà $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy hàm số f(x) liên tục tại $x = \frac{1}{2}$.

+) Hàm số $g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.$.

Hàm số g(x) xác định trên [0; 1], do đó $x = \frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} x = \frac{1}{2}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right)$.

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại $x = \frac{1}{2}$, do đó hàm số g(x) gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$.

+) Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.

Lời giải:

Biểu thức $\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}$ có nghĩa khi x + 2 ≠ 0 hay x ≠ – 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).

Lời giải:

a) Hàm số f(x) = x$^{2}$ và g(x) = – x + 1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

Do đó, hai hàm số f(x) và g(x) đều liên tục tại x = 1.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x$^{2}$ + (– x + 1) = x$^{2}$ – x + 1.

Do đó, $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {1^2} - 1 + 1 = 1$.

Lại có, f(1) = 1$^{2}$ = 1; g(1) = – 1 + 1 = 0, do đó f(1) + g(1) = 1 + 0 = 1.

Vậy L = f(1) + g(1) = 1.

Lời giải:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là ${v_a} = \frac{{180}}{3} = 60$ (km/h).

Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Tại thời điểm xuất phát t$_{0}$, vận tốc của xe v(t$_{0}$) = 0 nên có một thời điểm t$_{1}$ xe chạy với vận tốc v(t$_{1}$) > v$_{a}$.

Xét hàm số f(t) = v(t) – v$_{a}$, rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t$_{0}$; t$_{1}$].

Hơn nữa, ta có f(t$_{0}$) = – v$_{a}$ < 0, f(t$_{1}$) = v(t$_{1}$) – v$_{a}$ > 0 (do v(t$_{1}$) > v$_{a}$), nên tồn tại thời điểm t$^{*}$ thuộc khoảng (t$_{0}$; t$_{1}$) sao cho f(t$^{*}$) = 0. Khi đó ta có v(t$^{*}$) – v$_{a}$ = 0 hay v(t$^{*}$) = v$_{a}$ = 60.

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải:

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 2f\left( 1 \right) - g\left( 1 \right)$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 3$ và f(1) = 2 nên ta có 3 = 2 . 2 – g(1) ⇔ g(1) = 1.

Vậy g(1) = 1.

Lời giải:

a) $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}$

Biểu thức $\frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}$ có nghĩa khi x$^{2}$ + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.$.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).

b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.$

Tập xác định của hàm số là ℝ.

+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x$^{2}$.

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).

+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (1; +∞).

+) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 1 = 3$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + {x^2}} \right) = 1 + {1^2} = 2$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$, do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.

Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là ℝ.

+) Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).

+) Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).

Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).

Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ (1).

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin \,x = 0$; f(0) = sin 0 = 0; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x + m} \right) = m$.

Khi đó, (1) ⇔ m = 0.

Vậy m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:

a) Gọi x (km, x > 0) là quãng đường khách di chuyển và y (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển x.

Với x ≤ 0,5, ta có y = 10 000.

Với 0,5 < x ≤ 30, ta có: y = 10 000 + 13 500(x – 0,5) hay y = 13 500x + 3 250.

Với x > 30, ta có: y = 10 000 + 13 500 . 29,5 + 11 000(x – 30) hay y = 11 000x + 78 250.

Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là

$y = \left\{ \begin{array}{l}10\,000,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 < x \le 0{,}5\\13\,500x + 3\,250,\,\,\,\,\,\,\,\,0{,}5 < x \le 30\\11\,000x + \,78\,250,\,\,\,\,\,x > 30\end{array} \right.$ .

b) +) Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).

+) Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).

+) Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).

+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.

- Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{0{,}5}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{0{,}5}^ - }} 10\,\,000 = 10\,000$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{0{,}5}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{0{,}5}^ + }} \left( {13\,\,500x + 3250} \right)$= 13 500 . 0,5 + 3 250 = 10 000.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{0{,}5}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{0{,}5}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0{,}5} y = y\left( {0{,}5} \right)$ nên hàm số liên tục tại x = 0,5.

- Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} \left( {13\,\,500x + 3250} \right)$ = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} \left( {11\,\,000x + 78\,250} \right)$ = 11 000 . 30 + 78 250 = 408 250.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 30} y = y\left( {30} \right)$ nên hàm số liên tục tại x = 30.

Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).