Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 16. Giới hạn của hàm số có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Từ công thức khối lượng

$m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$

ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0; c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v ⟶ c, ta có $\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \to 0$. Do đó $\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} m\left( v \right) = + \infty$, nghĩa là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần tới vận tốc ánh sáng.

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

$f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - {{\left( {\frac{{2n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}}$$= \frac{{4 - {{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right) - 2}} = \frac{{4 - \left( {4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\frac{1}{n}}}$ $\frac{{ - \frac{1}{n}\left( {4 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\frac{1}{n}}} = - 4 - \frac{1}{n}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = - 4$.

c) Ta có: $f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - x_n^2}}{{{x_n} - 2}} = \frac{{\left( {2 - {x_n}} \right)\left( {2 + {x_n}} \right)}}{{ - \left( {2 - {x_n}} \right)}} = - 2 - {x_n}$.

Vì x$_{n}$ ≠ 2 và x$_{n}$ ⟶ 2 với mọi n nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = 2$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 2 - {x_n}} \right) = - 2 - 2 = - 4$.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Lại có: $\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = \sqrt 1 + 1 = 2$.

Lời giải:

a) Ta có: ${x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1$ với mọi n > 0 $\Rightarrow {x_n} - 1 < 0$ với mọi n > 0.

Do đó, ${y_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {{x_n} - 1} \right|}}{{{x_n} - 1}}$$= \frac{{ - \left( {{x_n} - 1} \right)}}{{{x_n} - 1}} = - 1$.

Ta cũng có: ${x'_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1$ với mọi n > 0 ⇒ x*'*$_{n}$ – 1 > 0 với mọi n > 0.

Do đó, ${y'_n} = f\left( {{{x'}_n}} \right) = \frac{{\left| {{{x'}_n} - 1} \right|}}{{{{x'}_n} - 1}}$$= \frac{{{{x'}_n} - 1}}{{{{x'}_n} - 1}} = 1$.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {y_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 1} \right) = - 1$; $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {y'_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 1$.

c) Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}$$= \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 > 0\,\,\,\,\,\\\frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 < 0\end{array} \right.$$= \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 > 0\,\,\,\,\,\\ - 1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 < 0\end{array} \right.$

Vì x$_{n}$ < 1 < x*'$_{n}$, suy ra x$_{n}$ – 1 < 0 và x'*$_{n}$ – 1 > 0 với mọi n.

Do đó, f(x$_{n}$) = – 1 và f(x*'*$_{n}$) = 1.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)$ = – 1 và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)$ = 1.

Lời giải:

Với dãy số (x$_{n}$) bất kì sao cho x$_{n}$ < 0 và x$_{n}$ ⟶ 0, ta có f(x$_{n}$) = – x$_{n}$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {x_n}} \right) = 0$.

Tương tự, với dãy số (x$_{n}$) bất kì sao cho x$_{n}$ > 0 và x$_{n}$ ⟶ 0, ta có f(x$_{n}$) = $\sqrt {{x_n}}$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{x_n}} = 0$.

Khi đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ = 0. Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ = 0.