Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 trường THCS Phú Diễn (Hà Nội) Tháng 12/2025 có đáp án

1) Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn lần lượt là: $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( m \right){\rm{ }}\left( {x,{\rm{ }}y > 1} \right).$

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $xy{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)$

Vì chiều dài của khu vườn sau khi tăng thêm 3m là $x + 3$ (m) và chiều rộng của khu vườn sau

khi tăng thêm 2m là $y + 2$ (m) thì diện tích khu vườn tăng 84m2 nên ta có phương trình: $\left( {x + 3} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 84$ hay $2x + 3y = 78$ (1)

Vì chiều dài, chiều rộng của khu vườn lúc sau khi đều giảm đi 1m lần lượt là $x - 1$(m), $y - 1$(m)

thì diện tích khu vườn giảm đi 31m2 nên ta có phương trình:

$\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 31$ hay $x + y = 32$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 78\\x + y = 32\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 18(tm)\\y = 14(tm)\end{array} \right.$.

Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn lần lượt là 18m, 14m.

2) Gọi số xe ban đầu đội vận chuyển đã chuẩn bị là: x (xe) ($x \in {\mathbb{N}^*}$).

Số tấn hàng trên mỗi xe theo như dự định của đội là: $\frac{{36}}{x}$ (tấn/xe).

Trong thực tế số chiếc xe vận chuyển hàng của đội là: $x + 3$ (xe).

Số tấn hàng trên mỗi xe trong thực tế của đội là: $\frac{{36}}{{x + 3}}$ (tấn/xe).

Vì lượng hàng phải chở trên mỗi xe trong thực tế giảm xuống 1 tấn so với kế hoạch ban đầu nên

ta có phương trình: $\frac{{36}}{x} - 1 = \frac{{36}}{{x + 3}}$ suy ra $x = - 12$ (ktm) hoặc $x = 9$ (tm).

Vậy ban đầu đội vận chuyển đã chuẩn bị 9 xe.

1) Bán kính đường tròn lớn là $20:2 = 10\left( {cm} \right)$

Bán kính đường tròn nhỏ là: $14:2 = 7cm$

Diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa xứ là:

$S = \pi \left( {{{10}^2} - {7^2}} \right) = 51\pi \approx 51.3{,}14 = 160{,}14 \approx 160\left( {c{m^2}} \right)$

2)

a) $\Delta BEC$ vuông tại $E$, có $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, nên:

$IE = IB = IC = \frac{1}{2}BC$

$\Delta BDC$ vuông tại $D$, có $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, nên:

$ID = IB = IC = \frac{1}{2}BC$

Do đó $IB = IC = ID = IE\,\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)$

Vậy bốn điểm $B\,,\,D\,,\,C\,,\,E$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$, đường kính $BC$.

Xét $\left( I \right)$, có $DE$ là dây cung không đi qua tâm, do đó $DE < BC$

b) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$, có: $\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$ và $\widehat {BAC}$ chung, nên (g.g)

Suy ra $\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AE.AB = AD.AC$

$\Delta ABC$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$, nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

Suy ra $AH \bot BC$ $\Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BAH} = 90^\circ$ hay $\widehat {IBE} + \widehat {OAE} = 90^\circ$

Do $IB = IE\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)$ nên $\Delta IBE$ cân tại $I$ $\Rightarrow \widehat {IEB} = \widehat {IBE}$

$\Delta AEH$ vuông tại $E$, có $EO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ nên $OE = OA = OH = \frac{1}{2}AH$

Do đó $\Delta OAE$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat {OEA} = \widehat {OAE}$

Suy ra $\widehat {IEB} + \widehat {OEA} = \widehat {IBE} + \widehat {OAE} = 90^\circ$ $\Rightarrow \widehat {OEI} = 90^\circ$

Vậy $OE \bot EI$

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có: $OD \bot DI$

$\Delta ADH$ vuông tại $D$, có $DO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: $OD = OA = OH = \frac{1}{2}AH$

Suy ra $OD = OE\left( { = \frac{1}{2}AH} \right)$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $DE$

Mà $ID = IE\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)$ nên $I$ thuộc đường trung trực của $DE$

Do đó $OI$ là đường trung trực của $DE$ hay $OI \bot DE$

Gọi $G$ là giao điểm của $OI$ và $DE$; $K$ là giao điểm của $AI$ và $OS$.

Ta có: (g.g) $\Rightarrow \frac{{OD}}{{OI}} = \frac{{OG}}{{OD}} \Rightarrow O{D^2} = OG.OI$

(g.g) $\Rightarrow \frac{{OK}}{{OG}} = \frac{{OI}}{{OS}} \Rightarrow OK.OS = OG.OI$

Do đó $OK.OS = O{D^2} = O{A^2}$$\Rightarrow \frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OS}}$

Xét $\Delta OKA$ và $\Delta OAS$, có: $\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OS}}$ và $\widehat {AOS}$ chung

Do đó (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {OAS} = \widehat {OKA} = 90^\circ$ $\Rightarrow SA \bot AO$ hay $SA \bot AH$, mà $AH \bot BC$ nên $SA\,{\rm{//}}\,BC$ (đpcm)

Gọi số thiệp mẫu $A$ và số thiệp mẫu $B$ mà câu lạc bộ cần làm trong một ngày hội lần lượt là $x\,,\,\,\,y$ ($x\,,\,y \in \mathbb{N}*$ và $x \le 200$, $y \le 240$).

Nếu chỉ làm thiệp mẫu $B$, trong một giờ các bạn hoàn thành được $60$ thiệp.

Vì thời gian làm một thiệp mẫu $A$ gấp đôi thời gian làm một thiệp mẫu $B$, nên nếu chỉ làm thiệp mẫu $A$, trong một giờ các bạn hoàn thành được: $60:2 = 30$ (thiệp).

Thời gian các bạn hoàn thành $x$ thiệp mẫu $A$ là $\frac{x}{{30}}$ (giờ)

Thời gian các bạn hoàn thành $y$ thiệp mẫu $B$ là $\frac{y}{{60}}$ (giờ)

Vì một ngày, câu lạc bộ có $8$ giờ làm việc, nên ta có: $\frac{x}{{30}} + \frac{y}{{60}} = 8$ (*)

Tiền lãi thu được khi bán hai loại thiệp chúc mừng là:

$T = 24\,000x + 18\,000y = 6000\left( {4x + 3y} \right)$ (đồng)

Từ (*) suy ra $2x + y = 480$ hay $4x + 2y = 960$

Ta có: $4x + 3y = \left( {4x + 2y} \right) + y = 960 + y \le 960 + 240 = 1\,200$

Nên $T \le 6\,000.1\,200 = 7\,200\,000$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $y = 240$ (thỏa mãn).

Khi đó: $x = \frac{{480 - y}}{2} = \frac{{480 - 240}}{2} = 120$ (thỏa mãn).

Vậy trong một ngày hội, câu lạc bộ cần làm $120$ thiệp mẫu $A$ và $240$ thiệp mẫu $B$ để thu được tiền lãi cao nhất là $7\,200\,000$ đồng.