Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Yên Hòa (Hà Nội) có đáp án

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Giả sử $\alpha$ là góc giữa vectơ $\overrightarrow {AG}$ và vectơ $\overrightarrow {AB}$ thì $\cos \alpha$ bằng

Đáp án A: $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$ .
Đáp án B: $\frac{1}{2}$ .
Đáp án C: $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$ .
Đáp án D: $\frac{1}{3}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Chọn A

Hình minh hoạ

Ta có $\alpha = \left( {\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {BAG}$ .

Ví $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $AB = a$ , $BG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ và $AG = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Áp dụng định lý côsin, ta có

$\cos \alpha = \frac{{A{B^2} + A{G^2} - B{G^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AG}} =$ $\frac{{{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{3}}}{{2 \cdot a \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ .

Câu 2

0,25 điểm

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên

\mathbb{R}

Đáp án A: $y = \ln x$ .
Đáp án B: $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$ .
Đáp án C: $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ .
Đáp án D: $y = {\log _{0{,}2}}x$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Chọn C

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ .

Câu 3

0,25 điểm

Cho cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

có

{u_3} = 18

{u_7} = 34

. Công sai của cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

là

Đáp án A: $d = 5$ .
Đáp án B: $d = 6$ .
Đáp án C: $d = 4$ .
Đáp án D: $d = 3$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Chọn C

Theo giả thiết ${u_3} = 18$ và ${u_7} = 34$ ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} + 2d = 18}\\{{u_1} + 6d = 34}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{d = 4}\\{{u_1} = 10}\end{array}} \right.} \right.$ .

Câu 4

0,25 điểm

Điểm khảo sát môn Toán của $44$ học sinh lớp $12A$ được cho bởi tần số ghép nhóm như sau

Điểm	$\left( {4;5} \right]$	$\left( {5;6} \right]$	$\left( {6;7} \right]$	$\left( {7;8} \right]$	$\left( {8;9} \right]$	$\left( {9;10} \right]$
Số hoc sinh	$1$	$5$	$10$	$13$	$11$	$4$

Điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp $12A$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là

Đáp án A: $7{,}39$ .
Đáp án B: $7{,}41$ .
Đáp án C: $7{,}42$ .
Đáp án D: $7{,}4$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Chọn B

Điểm	$\left( {4;5} \right]$	$\left( {5;6} \right]$	$\left( {6;7} \right]$	$\left( {7;8} \right]$	$\left( {8;9} \right]$	$\left( {9;10} \right]$
Giá trị đại diện	$4{,}5$	$5{,}5$	$6{,}5$	$7{,}5$	$8{,}5$	$9{,}5$
Số hoc sinh	$1$	$5$	$10$	$13$	$11$	$4$

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\overline x = \frac{{1 \cdot 4{,}5 + 5 \cdot 5{,}5 + 10 \cdot 6{,}5 + 13 \cdot 7{,}5 + 11 \cdot 8{,}5 + 4 \cdot 9{,}5}}{{44}} = 7{,}41$ .

Câu 5

0,25 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R},$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Hình minh hoạ

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đáp án A: $\left( {2026;\, + \infty } \right)$ .
Đáp án B: $\left( {0;\, + \infty } \right)$ .
Đáp án C: $\left( { - 1;\,1} \right)$ .
Đáp án D: $\left( { - 2;\, - 1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Chọn A

Hàm số đồng biến khi $y' > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;\,0} \right)$ và $\left( {1;\, + \infty } \right)$ .

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy khoảng $\left( {2026;\, + \infty } \right)$ là con của khoảng $\left( {1;\, + \infty } \right)$ .

Vì hàm số đồng biến trên $\left( {1;\, + \infty } \right)$ nên nó cũng đồng biến trên khoảng $\left( {2026;\, + \infty } \right).$

Câu 6

0,25 điểm

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $a > 0,\,b > 0,\,c < 0$ .
Đáp án B: $a > 0,\,d < 0$ .
Đáp án C: $a > 0,\,d > 0$ .
Đáp án D: $a > 0,\,c > 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right)

liên tục trên

\left[ { - 1;\,3} \right]

thỏa mãn

\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)\,dx = 2.}

Tích phân

\int_{ - 1}^3 {\left( {3{x^2} + f\left( x \right)} \right)} \,dx

bằng

Đáp án A: $32$ .
Đáp án B: $12$ .
Đáp án C: $35$ .
Đáp án D: $30$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Một nguyên hàm của hàm số

f\left( x \right) = \sin \,x

là:

Đáp án A: $F\left( x \right) = \cos \,x$ .
Đáp án B: $F\left( x \right) = \cos \,2x$ .
Đáp án C: $F\left( x \right) = - \cos \,x$ .
Đáp án D: $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin \,x$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho hai điểm

A\left( {1; - 2;1} \right)

và

B\left( {2;3; - 4} \right)

. Tọa độ trung điểm

I

của đoạn thẳng

AB

là

Đáp án A: $I\left( {3;1; - 3} \right)$ .
Đáp án B: $I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}; - \frac{5}{2}} \right)$ .
Đáp án C: $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$ .
Đáp án D: $I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho mặt phẳng

\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0

và đường thẳng

d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}

. Kết luận nào sau đây là đúng?

Đáp án A: $d//\left( P \right)$ .
Đáp án B: $d \subset \left( P \right)$ .
Đáp án C: $d$ và $\left( P \right)$ có $1$ điểm chung.
Đáp án D: $d \bot \left( P \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Cho các số thực

x

và

y

với

x > 0

thì đẳng thức nào sau đây đúng?

Đáp án A: ${\log _5}\frac{x}{{{5^y}}} = {\log _5}x - y$ .
Đáp án B: $\log \left( {x{y^4}} \right) = \log x + 4\log \left| y \right|$ .
Đáp án C: $\ln \left( {x{y^2}} \right) = \ln x + 2\ln y$ .
Đáp án D: ${\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}2y$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, mặt cầu

\left( S \right)

có tâm

I\left( {1;2; - 3} \right)

, đi qua điểm

M\left( {2;4; - 1} \right)

có phương trình là

Đáp án A: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9$ .
Đáp án B: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3$ .
Đáp án C: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$ .
Đáp án D: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Tại một tổ bầu cử Quốc hội khóa XVI của phường Yên Hòa có $5$ ứng cử viên trong đó có ông $A$ và ông $B$ . Kết quả kiểm phiếu của $1500$ cử tri cho thấy:

- Có $900$ cử tri bầu cho ông $A$ .

- Có $800$ cử tri bầu cho ông $B$ .

- Có $200$ cử tri không bầu cho cả ông $A$ và ông $B$ .

Biết rằng mỗi cử tri có thể chọn một trong hai ứng cử viên hoặc chọn cả hai hoặc không chọn ai trong hai ứng viên $A$ , $B$ .

Ý a: Số cử tri bỏ phiếu chọn cả hai ứng cử viên $A$ , $B$ là $400$ .
Ý b: Xác suất để chọn một cử tri trong số $1500$ cử tri nói trên bầu cho cả hai ông $A$ , $B$ là $\frac{8}{{15}}$ .
Ý c: Xác suất để chọn một cử tri trong số $1500$ cử tri nói trên chỉ bầu cho ông $A$ là $\frac{1}{3}$ .
Ý d: Nếu chọn một cử tri đã bầu cho ứng cử viên $A$ trong số 1500 cử tri nói trên, xác suất để người đó không bầu cho ứng cử viên $B$ là $\frac{5}{9}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm

I

và

II

. Mỗi kilôgam sản phẩm loại

I

cần

2\,{\rm{kg}}

nguyên liệu và

30

giờ làm, đem lại mức lợi nhuận

400

nghìn đồng. Mỗi kilôgam sản phẩm loại

II

cần

4\,{\rm{kg}}

nguyên liệu và

15

giờ làm, đem lại mức lợi nhuận

300

nghìn đồng. Xí nghiệp có

200\,{\rm{kg}}

nguyên liệu và tối đa

1200

giờ làm việc. Gọi

x,y

lần lượt là số

{\rm{kg}}

sản phẩm loại

I

và loại

II

xí nghiệp sản xuất.

Ý a: Số ${\rm{kg}}$ nguyên liệu xí nghiệp cần dùng để sản xuất $x\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ sản phẩm loại $I$ và $y\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ sản phẩm loại $II$ là $2x + 4y\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ .
Ý b: Số giờ làm xí nghiệp cần để sản xuất $x\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ sản phẩm loại $I$ và $y\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ sản phẩm loại $II$ là $2x + y$ (giờ làm)
Ý c: Nếu xí nghiệp sản xuất $5\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ sản phẩm loại $I$ và $6\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ sản phẩm loại $II$ thì xí nghiệp có lợi nhuận là $3800$ nghìn đồng.
Ý d: Lợi nhuận tối đa xí nghiệp có được là $12000$ nghìn đồng.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}}

. Giả sử đồ thị hàm số

y = f\left( x \right)

có hai điểm cực trị là

A

và

B

Ý a: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là đường thẳng $x = - 1$ .
Ý b: Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ là $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1$ .
Ý c: Hai điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía của trục hoành và $AB = 5\sqrt {17}$ .
Ý d: Gọi $y = g\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$ thoả mãn $g\left( 0 \right) = 12$ . Giả sử $C,D$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ thì 4 điểm $A,B,C,D$ lập thành tứ giác có diện tích là 42 (đơn vị diện tích).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

A\left( {1;1;1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right)

; đường thẳng

\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}

và mặt phẳng

\left( P \right):x - 2y - 2z + 15 = 0

Ý a: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u = \left( { - 2;2;1} \right)$ .
Ý b: Nếu góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\varphi$ thì $\sin \varphi = \frac{2}{9}$ .
Ý c: Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa các điểm $A,B$ và song song với đường thẳng $\Delta$ . Nếu mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng $d$ thì đường thẳng $d$ đi qua điểm $E\left( { - 1;2;5} \right)$ .
Ý d: Nếu giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $\left( P \right)$ là điểm $I\left( {a;b;c} \right)$ thì $a + 2b + c = 5$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Dự án "Công viên Thiên văn học" được khởi công năm 2017 do Tập đoàn Nam Cường đầu tư và đưa vào sử dụng từ đầu năm 2024. Để tạo điểm nhấn, các kỹ sư đã thiết kế một con đường và Vọng Lâu giữa hồ (tham khảo hình 1). Theo một tỉ lệ nhất định, con đường ở giữa công viên được mô phỏng như hình 2, biết rằng, trên hệ trục tương ứng của hình 2 thì:

- Các đường cong $BC,FG$ là 2 phần của Parabol có phương trình $y = f(x) = 0{,}11{x^2} + 1$ .

- Các đường cong $AQ,PK$ là 2 phần của Parabol có phương trình $y = g(x) = 0{,}1{x^2} + 0{,}41$ .

- Đường cong qua 3 điểm $Q,O,P$ là một phần của Parabol có phương trình là $y = h(x) = 0{,}13{x^2}$ .

- Các điểm $C,D$ có cùng hoành độ là $- 0{,}35$ . Các điểm $E,F$ có cùng hoành độ là $0{,}35$ .

- Các điểm $D,E$ có cùng tung độ là $2{,}65$ .

- Các điểm $A,Q,P,K$ có hoành độ lần lượt là $- 6; - \sqrt {14} ;\sqrt {14} ;6$ .

- Điểm $B,G$ có hoành độ lần lượt là $- 5{,}7$ và $5{,}7$ .

Hình minh hoạ

Dựa theo số liệu ở hình 2, hãy tính diện tích phần con đường được tô hình viên gạch trong hình 2? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Máng trượt nước cao nhất thế giới là máng trượt Verruckt trong công viên nước Schlitterbahn – Mỹ.

Hình minh hoạ

Máng trượt này có độ cao từ đỉnh khoảng $50m$ so với mặt đất (tham khảo hình 5). Gắn hệ trục với một tỉ lệ nhất định thì hình ảnh máng trượt được mô phỏng theo hình 6. Biết rằng, theo mô phỏng trong hình 6, máng trượt là hình ảnh của một đồ thị hàm bậc ba có dạng $y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ .
Điểm $B\left( {5;0} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , đồ thị cắt trục tung tại điểm $A$ có tung độ bằng $5$ và đi qua điểm $C\left( {15;\frac{1}{2}} \right)$ .

Tại các điểm có hoành độ lần lượt là $1{,}5$ ; $3$ ; $7$ ; $8{,}5$ ; $10$ ; $11{,}25$ ; $12{,}5$ ; $13{,}75$ ; $15$ các kỹ sư thiết kế các cột đỡ cho cây cầu (cột đỡ là các đường nét đứt như hình 6, biết các đường đó vuông góc với $Ox$ ). Tính tổng chiều cao của các cột đỡ theo tỉ lệ đã cho trong hình 6? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho mặt cầu

\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9

và hai điểm

A\left( {1\,;1\,;3} \right)

B\left( {21\,;9\,; - 13} \right)

. Giả sử điểm

M\left( {a\,;b\,;c} \right)

thuộc mặt cầu

\left( S \right)

sao cho

3M{A^2} + M{B^2}

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức

T = a \cdot b \cdot c

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Cho một hình bát giác đều

A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G,\,H

. Người ta gắn ngẫu nhiên vào

8

đỉnh này

8

số tự nhiên

1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8

(mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có

3

đỉnh lấy từ

8

đỉnh của bát giác đã cho. Gọi

P

xác suất thu được một tam giác vuông với

3

số trên

3

đỉnh của tam giác đó lập thành một cấp số cộng. Biết

P = \frac{m}{n}\,

(

\,\frac{m}{n}

là phân số tối giản). Tính

m + \,3n

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Thị trường chứng khoán là một kênh huy động vốn hiệu quả cho các doanh nghiệp và nền kinh tế. Thị trường chứng khoán thường phản ứng rất nhạy với các tin tức trong và ngoài nước. Ở Việt Nam, một phiên giao dịch của thị trường chứng khoán được tính từ lúc mở cửa, lúc 9 giờ 00 sáng, đến lúc đóng cửa, lúc 14 giờ 30 cùng ngày, thị trường có 1,5 tiếng nghỉ trưa. Trong mỗi phiên giao dịch, giá mở cửa của một cổ phiếu gọi là giá tham chiếu (là giá đóng cửa của phiên hôm trước). Phiên giao dịch ngày 1 tháng 3 năm 2026 với những tin tức trên Thế Giới của những ngày trước đó, từ lúc mở cửa cổ phiếu của nhiều công ty được các nhà đầu tư mua với sức mua rất mạnh, đẩy giá cổ phiếu của các công ty này tăng trần (tăng trần là giá cổ phiếu tăng tối đa trong 1 phiên giao dịch). Trong đó có cổ phiếu của công ty “Công ty Cổ phần Lọc hóa dầu Bình Sơn” mã chứng khoán BSR, phiên giao dịch ngày 1 tháng 3 và 2 phiên giao dịch tiếp theo, mã cổ phiếu này tăng trần (cổ phiếu BSR tăng trần là tăng ở mức tối đa 7%). Hai phiên giao dịch tiếp theo giá cổ phiếu BSR tăng lần lượt là 4% và 4,5%. Tuy nhiên sau đó, tình hình Thế giới tác động ngược lại nên mã cổ phiếu này lại bị các nhà đầu tư bán tháo mạnh dẫn đến giảm sàn trong 2 phiên tiếp theo (giá cổ phiếu BSR giảm sàn nghĩa là giảm tối đa 7% trong phiên giao dịch).
Giá tăng hay giảm của một cổ phiếu là trong một phiên được tính theo công thức:
Mức tăng (giảm) = (Giá đóng cửa − Giá tham chiếu) / Giá tham chiếu
(Giá tham chiếu là giá đóng cửa của phiên trước – kết quả dương là tăng và âm là giảm).
Biết được thông tin trên, Ông An – là một nhà đầu tư kỳ cựu – ngay từ đầu phiên ngày 1 tháng 3 đã nhanh chóng mua được 15000 cổ phiếu BSR với mức giá tham chiếu 31,5 (đơn vị: nghìn đồng).
Hỏi sau 7 phiên giao dịch tính từ ngày 1 tháng 3 (tính cả phiên giao dịch này) thì ông An đã có lợi nhuận là bao nhiêu triệu đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21