Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Triệu Sơn 1 (Thanh Hóa) có đáp án

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Họ nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ là

Đáp án A: $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .
Đáp án B: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .
Đáp án C: $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .
Đáp án D: $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Chọn B

Ta có: $\tan x = 1 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{4}$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,(k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 2

0,25 điểm

Cho dãy số

({u_n})

với

{u_n} = {n^2} - 3n + 2

. Giá trị của

{u_3}

bằng

Đáp án A: $2$ .
Đáp án B: $- 16$ .
Đáp án C: 20.
Đáp án D: $3$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Chọn A

Thay $n = 3$ vào công thức tổng quát của dãy số, ta được:

${u_3} = {3^2} - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$ .

Câu 3

0,25 điểm

Nghiệm của phương trình

{\log _3}(x - 1) = 2

là

Đáp án A: $x = 8$ .
Đáp án B: $x = 9$ .
Đáp án C: $x = 7$ .
Đáp án D: $x = 10$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Chọn D

Điều kiện: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .

Phương trình đã cho tương đương với:

$x - 1 = {3^2}$

$\Leftrightarrow x - 1 = 9$

$\Leftrightarrow x = 10$ (thỏa mãn điều kiện).

Câu 4

0,25 điểm

Cho tứ diện ABCD có $AB = AC$ và $DB = DC$ , gọi $E$ là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây sai?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $BC \bot AD$ .
Đáp án B: $BC \bot AE$ .
Đáp án C: $AB \bot DE$ .
Đáp án D: $BC \bot (ADE)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Chọn C

Xét $\Delta ABC$ có $AB = AC$ nên tam giác ABC cân tại $A$ . Mà $E$ là trung điểm của cạnh đáy BC, do đó đường trung tuyến AE đồng thời là đường cao, suy ra $BC \bot AE$ $\Rightarrow$ Khẳng định B đúng.

Tương tự, xét $\Delta DBC$ có $DB = DC$ nên tam giác DBC cân tại $D$ . Có đường trung tuyến DE đồng thời là đường cao, suy ra $BC \bot DE$ .

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BC \bot AE}\\{BC \bot DE}\\{AE \cap DE = E}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (ADE)$ $\Rightarrow$ Khẳng định D đúng.

Vì $BC \bot (ADE)$ mà $AD \subset (ADE)$ nên suy ra $BC \bot AD$ $\Rightarrow$ Khẳng định A đúng.

Khẳng định $AB \bot DE$ không có cơ sở để chứng minh là luôn đúng dựa trên các dữ kiện đã cho.

Câu 5

0,25 điểm

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a,\,\,AA' = \sqrt 2 a$ (tham khảo như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng

Hình minh hoạ

Đáp án A: $45^\circ$ .
Đáp án B: $90^\circ$ .
Đáp án C: $60^\circ$ .
Đáp án D: $30^\circ$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Chọn A

Ta có góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa $A'C$ và $AC$ .

Áp dụng tam giác $AA'C$ vuông tại $A$ ta có $\tan \widehat {A'AC} = \frac{{A'A}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 2 a}} = 1 \Rightarrow \widehat {A'AC} = 45^\circ$ .

Câu 6

0,25 điểm

Hàm số

F\left( x \right) = {x^3} + {e^x}

là một nguyên hàm của hàm số

f\left( x \right)

nào sau đây?

Đáp án A: $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + {e^x}$ .
Đáp án B: $f\left( x \right) = 3{x^2} + {e^x}$ .
Đáp án C: $f\left( x \right) = 4{x^4} + {e^x}$ .
Đáp án D: $f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho mặt phẳng

\left( P \right):\,2x - 4y + 3z - 3 = 0

. Véc tơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

\left( P \right)

Đáp án A: $\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 4;\,3} \right)$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;\,4;\,3} \right)$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {{n_3}} \left( {2;\,4;\,3} \right)$ .
Đáp án D: $\overrightarrow {{n_4}} \left( {2;\,4;\, - 3} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.

Hình minh hoạ

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng

Đáp án A: $\left( { - \infty ;\,1} \right)$ .
Đáp án B: $\left( { - 2;\,0} \right)$ .
Đáp án C: $\left( { - 4;\, + \infty } \right)$ .
Đáp án D: $\left( { - \infty ;\, - 2} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Cho hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

. Đặt

\overrightarrow {AB} = \vec a,\,\,\overrightarrow {AD} = \vec b,\,\,\overrightarrow {AA'} = \vec c

. Phân tích vectơ

\overrightarrow {AC'}

theo

\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c

Đáp án A: $\overrightarrow {AC'} = - \vec a + \vec b + \vec c$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {AC'} = \vec a + \vec b - \vec c$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {AC'} = \vec a + \vec b + \vec c$ .
Đáp án D: $\overrightarrow {AC'} = \vec a - \vec b + \vec c$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho hai điểm

A\left( {1; - 2;3} \right)

và

B\left( {3;1;1} \right)

. Đường thẳng

AB

có phương trình chính tắc là

Đáp án A: $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{4}$ .
Đáp án B: $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}$ .
Đáp án C: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ .
Đáp án D: $\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$\left[ {0;20} \right)$	$\left[ {20;40} \right)$	$\left[ {40;60} \right)$	$\left[ {60;80} \right)$	$\left[ {80;100} \right)$
Số học sinh	$5$	$9$	$12$	$10$	$6$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là

Đáp án A: $\left[ {40;60} \right)$ .
Đáp án B: $\left[ {20;40} \right)$ .
Đáp án C: $\left[ {80;100} \right)$ .
Đáp án D: $\left[ {60;80} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = {{\rm{e}}^x},y = 0,x = 0,x = 2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án A: $S = \pi \int\limits_0^2 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án B: $S = \int\limits_0^2 {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $S = \pi \int\limits_0^2 {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $S = \int\limits_0^2 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Hình minh hoạ

Ý a: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ .
Ý b: Điểm cực đại của hàm số là $A\left( {0;4} \right)$ .
Ý c: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ bằng $0$ .
Ý d: Điểm uốn của đồ thị hàm số là $U\left( { - 1;2} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5{\mkern 1mu} (m)$ . Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ (đơn vị là mét) ta được thiết diện là một hình parabol có chiều cao $h(x) = 3 - \frac{2}{5}x$ , độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ bên cạnh) và diện tích của thiết diện là $S(x)$ .

Hình minh hoạ

Ý a: $OA = h(0) = 3 - \frac{2}{5}.0 = 3\,{\mkern 1mu} (m)$ .
Ý b: Thể tích của đường hầm được tính theo công thức $V = \int_0^5 S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\;({m^3})$ .
Ý c: $\int h (x)dx = 3x - \frac{{{x^2}}}{5} + C$ .
Ý d: Thể tích của hầm là $29{,}89{\mkern 1mu} {m^3}$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Lớp 12C có 40 học sinh. Trong một buổi kiểm tra định kỳ, số học sinh của lớp được chia làm hai phòng như sau.

Hình minh hoạ

Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 12C. Xét các biến cố:

$A$ : “Học sinh được chọn ở phòng 2”.

$B$ : “Học sinh được chọn là học sinh nữ”.

Ý a: Lớp 12C có 21 học sinh nam.
Ý b: Biến cố $AB$ : “Học sinh được chọn là học sinh nữ ở phòng 2”.
Ý c: $P(B) = \frac{{21}}{{40}}$ .
Ý d: $P(A|B) = \frac{4}{7}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Trong không gian

Oxyz,

cho mặt cầu

\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9

Ý a: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2; - 1;1} \right)$ và bán kính $R = 3$ .
Ý b: Điểm $M\left( {1;3;5} \right)$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ .
Ý c: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2t}\\{y = - t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ .
Ý d: Mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 8 = 0$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r = 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn An và Bình thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. An chạy với vận tốc ${v_A}\left( t \right) = 5\sqrt t \quad \left( {km/h} \right)$ , quãng đường Bình chạy được cho bởi phương trình ${S_B}\left( t \right) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right)\quad \left( {km} \right)$ (với t là thời gian tính theo giờ). Cuộc đua kết thúc khi An hoặc Bình chạy được 10 km đầu tiên, khi đó khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Cho hình chóp

S.ABCD

có đáy là hình vuông

ABCD

cạnh bằng

2

SA \bot \left( {ABCD} \right)

và

SA = 4

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

BD

và

SC

(kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số

P(t) = \frac{a}{{b + {e^{ - 0{,}75t}}}}

, trong đó thời gian

t

được tính bằng giờ và

a

b

là các hằng số. Tại thời điểm ban đầu

t = 0

, quần thể có 30 tế bào và tăng với tốc độ 15 tế bào/giờ. Theo mô hình này số lượng tế bào của quần thể luôn thuộc nửa khoảng

[\alpha ;\beta )

. Khi đó

2\alpha - \beta

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $1$ có một điểm $P$ chuyển động (như hình bên). Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là $1$ hoặc $2$ thì điểm $P$ chuyển động theo chiều kim đồng hồ một góc $60^\circ$ , còn trong các trường hợp khác thì điểm $P$ chuyển động theo chiều ngược kim đồng hồ một góc $60^\circ$ . Khi gieo xúc xắc $8$ lần, xác suất để điểm $P$ trở về đúng vị trí ban đầu là $\frac{k}{{{3^5}}}$ . Khi đó, giá trị của $k$ là bao nhiêu? (biết rằng $k$ là số tự nhiên).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là

x

tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là

p(x) = 90 - 0{,}01{x^2}

(đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất

x

tấn sản phẩm trong một tháng là

C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x)

(đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là 10% tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

0,5 điểm

Trong không gian

Oxyz

, bề mặt trái đất có phương trình

{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1

(

1

là đơn vị dài trong không gian

Oxyz

tương ứng với

6371

km trên thực tế); vị trí

P

có vĩ độ, kinh độ tương ứng là

\alpha ^\circ N,\beta ^\circ E

\left( {0 < \alpha < 90{,}0 < \beta < 180} \right)

có tọa độ

P\left( {cos\alpha ^\circ \cos \beta ^\circ ;\cos \alpha ^\circ \sin \beta ^\circ ;\sin \alpha ^\circ } \right)

. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt trái đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí