Đề thi khảo sát Toán 9 (chuyên) năm 2026 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (TP.HCM) có đáp án

Hướng dẫn giải

1. Ta có ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]$

$40 = 4\left( {16 - 3ab} \right)$

$16 - 3ab = 10$

$ab = 2$.

Lại có: ${a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 16 - 4 = 12$.

Xét tích: $\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {a^5} + {b^5} + {a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)$

$40 \cdot 12 = P + {2^2} \cdot 4$

$480 = P + 16$

$P = 464$.

2. Điều kiện xác định: $- 2 \le x \le 2$. Khai triển phương trình:

$\left( {2 + x + 2\sqrt {2 + x} + 1} \right) + \left( {2 - x + 2\sqrt {2 - x} + 1} \right) = 2x + 6$

$6 + 2\sqrt {2 + x} + 2\sqrt {2 - x} = 2x + 6$

$\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} = x$

Do vế trái luôn không âm nên $x \ge 0$. Bình phương hai vế (với $0 \le x \le 2$):

$\left( {2 + x} \right) + \left( {2 - x} \right) + 2\sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)} = {x^2}$

$4 + 2\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2}$

Đặt $t = \sqrt {4 - {x^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right),$ ta có ${x^2} = 4 - {t^2}$. Thay vào ta được:

$4 + 2t = 4 - {t^2}$

${t^2} + 2t = 0$

$t\left( {t + 2} \right) = 0$

Vì $t \ge 0$ nên $t = 0$ suy ra $\sqrt {4 - {x^2}} = 0$

Khi đó ${x^2} = 4$ nên $x = 2$ (vì $x \ge 0$).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$.

3. Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên mỗi cặp số $\left( {a,\,\,b} \right)$ có thứ tự từ 1 đến 6 là $\left| \Omega \right| = 6 \cdot 6 = 36$.

Nửa chu vi hình chữ nhật là $a$, diện tích là $b$.

Gọi chiều dài và chiều rộng là $x,\,\,y$ $\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Ta có hệ: $x + y = a$ và $xy = b$.

Theo định lí Viète đảo, $x,\,\,y$ là nghiệm của phương trình: ${t^2} - at + b = 0$.

Phương án "hợp lệ" khi phương trình có nghiệm nguyên dương. Khi đó:

• $\Delta = {a^2} - 4b \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương.

• $a > 0,\,\,b > 0$.

Lần lượt xét các giá trị của $a$:

• $a = 1$: Không có giá trị $b$ thỏa mãn.

• $a = 2$: $\Delta = 4 - 4b \ge 0$ nên $b = 1$. Cặp $\left( {2\,;\,\,1} \right)$ hợp lệ.

• $a = 3$: $\Delta = 9 - 4b \ge 0$ nên $b \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}$. Chỉ có $b = 2$ cho $\Delta = 1$ (chính phương). Cặp $\left( {3\,;\,\,2} \right)$ hợp lệ.

• $a = 4$: $\Delta = 16 - 4b \ge 0$. Ta thấy $b = 3$ và $b = 4$ thỏa mãn. Cặp $\left( {4\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {4\,;\,\,4} \right)$ hợp lệ.

• $a = 5$: $\Delta = 25 - 4b \ge 0$. Ta thấy $b = 4$ và $b = 6$ thỏa mãn. Cặp $\left( {5\,;\,\,4} \right)\,,\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)$ hợp lệ.

• $a = 6$: $\Delta = 36 - 4b \ge 0$. Ta thấy $b = 5$ thỏa mãn. Cặp $\left( {6\,;\,\,5} \right)$ hợp lệ.

Có tổng cộng 7 phương án hợp lệ. Xác suất phần mềm đưa ra một phương án hợp lệ là $P = \frac{7}{{36}}$.

Hướng dẫn giải

1. Thế các nghiệm vào phương trình tương ứng, ta có:

$2{b^2} - 3ab + a = 0\quad (1)$

$a{\left( {\frac{4}{{3 - b}}} \right)^2} - 3a\left( {\frac{4}{{3 - b}}} \right) + 2 = 0\quad (2)$

Từ (1) suy ra $a\left( {1 - 3b} \right) = - 2{b^2}$

$a = \frac{{2{b^2}}}{{3b - 1}}$ (nếu $b = \frac{1}{3}$ thì $a \cdot 0 = \frac{{ - 2}}{9}$ (vô lí), do đó $b \ne \frac{1}{3}$).

Rút gọn phương trình (2), ta được: $a\frac{{16}}{{{{\left( {3 - b} \right)}^2}}} - a\frac{{12}}{{3 - b}} + 2 = 0$

$a\frac{8}{{{{\left( {3 - b} \right)}^2}}} - a\frac{6}{{3 - b}} + 1 = 0$

$a\left[ {8 - 6\left( {3 - b} \right)} \right] + {\left( {b - 3} \right)^2} = 0$

$a\left( {6b - 10} \right) + {\left( {b - 3} \right)^2} = 0$

Thế $a$ vào ta được:

$\frac{{2{b^2}\left( {6b - 10} \right)}}{{3b - 1}} + {b^2} - 6b + 9 = 0$

$12{b^3} - 20{b^2} + 3{b^3} - {b^2} - 18{b^2} + 6b + 27b - 9 = 0$

$15{b^3} - 39{b^2} + 33b - 9 = 0$

$5{b^3} - 13{b^2} + 11b - 3 = 0$

$\left( {b - 1} \right)\left( {5{b^2} - 8b + 3} \right) = 0$

${\left( {b - 1} \right)^2}\left( {5b - 3} \right) = 0$

TH1: $b = 1$ suy ra $a = 1$, do đó $T = {1^3} + {1^3} = 2$.

TH2: $b = \frac{3}{5}$ suy ra $a = \frac{9}{{10}}$, do đó $T = {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} = \frac{{189}}{{200}}$.

2. a) Máy chủ Alpha xử lý $x$ bài với chi phí: $f\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} + 100x$.

Máy chủ Beta sẽ xử lý $(5000 - x)$ bài với chi phí:

$g\left( x \right) = 400\,\,000 + 200\left( {5000 - x} \right) = 1\,\,400\,\,000 - 200x$.

Tổng chi phí: $C\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} - 100x + 1\,\,400\,\,000$ (đồng).

b) Tổng chi phí là $C\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} - 100x + 1\,\,400\,\,000$.

Ta có $C\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( {{x^2} - 4\,\,000x} \right) + 1\,\,400\,\,000$

$= \frac{1}{{40}}\left( {{x^2} - 2 \cdot x \cdot 2000 + {{2000}^2} - {{2000}^2}} \right) + 1\,\,400\,\,000$

$= \frac{1}{{40}}{\left( {x - 2000} \right)^2} - 100\,\,000 + 1\,\,400\,\,000$$= \frac{1}{{40}}{\left( {x - 2000} \right)^2} + 1\,\,300\,\,000$.

Vì ${\left( {x - 2000} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \left[ {0\,;\,\,5000} \right]$ nên $C(x) \ge 1\,\,300\,\,000$ với mọi $x \in \left[ {0\,;\,\,5000} \right]$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - 2000 = 0$ nên $x = 2000$ (TMĐK).

Vậy tổng chi phí thấp nhất phải trả là $1\,\,300\,\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

a) Vì $F \in \left( E \right)$ đường kính $AC$ nên $\widehat {AFC} = 90^\circ$, suy ra $CF \bot AB$.

Tương tự $BG \bot AC$.

Xét $\Delta ABC$ có $BG$ và $CF$là hai đường cao cắt nhau tại $K$ nên $K$ là trực tâm $\Delta ABC$.

Vì $AH$ là đường cao từ $A$ xuống $BC$ nên $A,\,\,H,\,\,K$ thẳng hàng.

Ta thấy $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $DE\,{\rm{//}}\,BC$, suy ra $\widehat {AED} = \widehat {ACB}$.

Vì tứ giác $BGFC$ nội tiếp nên $\widehat {ACB} = \widehat {GFB}$.

Do đó $\widehat {AED} = \widehat {GFB}$, suy ra tứ giác $DEFG$ nội tiếp.

Gọi $T$ là trung điểm $AK$.

Chứng minh tương tự, ta được tứ giác $DHFT$ nội tiếp.

Do đó, các điểm $H,\,\,E,\,\,F,\,\,T,\,\,G,\,\,D$ cùng thuộc một đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tam giác $FGH$ đi qua điểm $D.$

b) Vì tứ giác $BHFK$ nội tiếp nên $\widehat {ABH} = \widehat {AKF}$.

Lại có $\widehat {AKF} = \widehat {HBP}$ suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {HBP}$.

Vì tam giác $ABP$ có $BH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên $BH$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABP$. Khi đó $H$ là trung điểm của $AP$.

Theo giả thiết $HB = HM$ nên $H$ là trung điểm $BM$.

Vì tứ giác $ABPM$ có hai đường chéo $AP$ và $BM$ cắt nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường nên $ABPM$ là hình bình hành. Suy ra: $BP\,{\rm{//}}\,AM$.

Xét $\Delta HBQ$ và $\Delta HMN$ có:

$HB = HM$ (giả thiết)

$\widehat {BHQ} = \widehat {MHN}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {HBQ} = \widehat {HMN}$ (do $BP\,{\rm{//}}\,AM$)

Do đó $\Delta HBQ = \Delta HMN$ (g.c.g)

Suy ra $HQ = HN$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $NQ$.

Hướng dẫn giải

1. Ta có ${a^2} + 1\,\, \vdots \,\,2027$ và ${b^2} + 1\,\, \vdots \,\,2027$

$\left( {{a^2} + 1} \right) - \left( {{b^2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2027$

${a^2} - {b^2}\,\, \vdots \,\,2027$

$\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2027$.

Vì 2027 là số nguyên tố nên $\left( {a - b} \right)\,\, \vdots \,\,2027$ hoặc $\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2027$.

Vì $0 < a,\,\,b < 2027$ và $a \ne b$ nên $0 < \left| {a - b} \right| < 2027$, do đó $a - b$ không thể chia hết cho 2027.

Do đó $\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2027$. Vì $0 < a + b < 4054$ nên $a + b = 2027$ suy ra $b = 2027 - a$.

Khi đó $ab - 1 = a\left( {2027 - a} \right) - 1 = 2027a - \left( {{a^2} + 1} \right)$.

Vì $2027a\,\, \vdots \,\,2027$ và $\left( {{a^2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2027$ nên $ab - 1\,\, \vdots \,\,2027$ (đpcm).

2. Giả sử tập $A$ có nhiều hơn 1014 phần tử, tức là $\left| A \right| \ge 1015$.

Gọi các phần tử của $A$ là ${a_1} < {a_2} < \ldots < {a_k}$ với $k \ge 1015$.

Vì 3 phần tử bất kỳ luôn tạo thành 3 cạnh của một tam giác, nên tổng của 2 phần tử nhỏ nhất phải lớn hơn phần tử lớn nhất: ${a_1} + {a_2} > {a_k}$

Mặt khác, vì ${a_i}$ là các số nguyên dương phân biệt, ta có ${a_k} \ge {a_2} + k - 2$.

Kết hợp hai điều trên ${a_1} + {a_2} > {a_k} \ge {a_2} + k - 2$ suy ra ${a_1} > k - 2.$

Với $k \ge 1015$, ta có ${a_1} > 1015 - 2$ nên ${a_1} \ge 1014$.

Suy ra: ${a_k} \ge {a_1} + k - 1 \ge 1014 + 1015 - 1 = 2028$.

Điều này vô lý vì mọi phần tử của $A$ đều thuộc $S$ nên ${a_k} \le 2026$.

Vậy giả thiết $\left| A \right| \ge 1015$ là sai. Tập hợp $A$ có nhiều nhất 1014 phần tử.