Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Đào Sơn Tây (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Viết lại hàm số dưới dạng chuẩn: $y = \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}}$.

Đạo hàm của hàm số: $y' = \frac{{3 \cdot 1 - 1 \cdot \left( { - 1} \right)}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.

Vì $y' > 0$ với mọi $x \ne 1$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Chọn C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x + 4 - {x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Xét dấu $y'$:

$y' > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

$y' < 0$ khi $x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right)$.

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Chọn D.

Hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.

Tính đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 12$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow x = \pm 2$ (cả hai nghiệm đều thuộc đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm cực trị:

$y\left( { - 3} \right) = {\left( { - 3} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 3} \right) + 6 = - 27 + 36 + 6 = 15$; $y\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 2} \right) + 6 = - 8 + 24 + 6 = 22$;

$y\left( 2 \right) = {2^3} - 12 \cdot 2 + 6 = 8 - 24 + 6 = - 10$; $y\left( 3 \right) = {3^3} - 12 \cdot 3 + 6 = 27 - 36 + 6 = - 3$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$ là $22$ tại $x = - 2$.

Chọn D.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Tính đạo hàm: $y' = 3{x^2} + 8x - 3$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3$ hoặc $x = \frac{1}{3}$.

Qua điểm $x = - 3$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$.

Giá trị cực đại của hàm số là: ${y}_{\text{CĐ}}=y(-3)={(-3)}^{3}+4\cdot {(-3)}^{2}-3\cdot (-3)+4=-27+36+9+4=22$.

Chọn B.

Phương trình $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = - 2$.

Trong đó:

$x = 0$ là nghiệm đơn (bậc 1).

$x = 1$ là nghiệm bội chẵn (bậc 2).

$x = - 2$ là nghiệm bội chẵn (bậc 4).

Vì đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ, nên $f'\left( x \right)$ chỉ đổi dấu khi đi qua điểm $x = 0$. Vậy hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn A.