Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Lê Quý Đôn (TP.HCM) có đáp án

Vì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm $f'\left( x \right)$ ta có:

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x = - 2$, do đó $x = - 2$ là một điểm cực đại.

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x = 0$, do đó $x = 0$ là một điểm cực tiểu.

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x = 3$, do đó $x = 3$ là một điểm cực đại.

Như vậy, hàm số có tất cả $3$ điểm cực trị.

Chọn C.

Quan sát đồ thị, ta thấy khi $x \to + \infty$ thì $y \to - \infty$, do đó hệ số của số hạng chứa ${x^3}$ phải âm ($a < 0$). Loại đáp án A.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 1} \right)$, thay $x = 0$ vào các hàm số còn lại:

Đáp án B: $y = 1$ (Loại).

Đáp án C và D đều cho $y = - 1$.

Đồ thị có điểm cực đại tại $\left( {2;3} \right)$.

Thay $x = 2$ vào hàm số ở đáp án D: $y\left( 2 \right) = - {2^3} + 3 \cdot {2^2} - 1 = - 8 + 12 - 1 = 3$ (Thỏa mãn).

Thay $x = 2$ vào hàm số ở đáp án C: $y\left( 2 \right) = - {2^3} + 3 \cdot 2 - 1 = - 3 \ne 3$ (Loại).

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$:

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm $\left( {1;1} \right)$, suy ra giá trị lớn nhất $M = 1$.

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm $\left( { - 1; - 3} \right)$, suy ra giá trị nhỏ nhất $m = - 3$.

Giá trị của biểu thức cần tìm là: $2M + 3m = 2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 2 - 9 = - 7$.

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ vì tại đó đạo hàm $y' < 0$.

Xét các phương án:

Khoảng $\left( {2;5} \right)$ là tập con của khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2;5} \right)$.

Chọn C.

Tiệm cận ngang:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1$, suy ra đường thẳng $y = 1$ là một tiệm cận ngang.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1$, vẫn là đường thẳng $y = 1$.

Vậy đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận ngang là $y = 1$.

Tiệm cận đứng:

Tại điểm $x = 1$, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty$, suy ra đường thẳng $x = 1$ là một tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận đứng là $x = 1$.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1 + 1 = 2$.

Chọn B.