Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Lê Quý Đôn (TP.HCM) có đáp án

Vì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm $f'\left( x \right)$ ta có:

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x = - 2$, do đó $x = - 2$ là một điểm cực đại.

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x = 0$, do đó $x = 0$ là một điểm cực tiểu.

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x = 3$, do đó $x = 3$ là một điểm cực đại.

Như vậy, hàm số có tất cả $3$ điểm cực trị.

Chọn C.

Quan sát đồ thị, ta thấy khi $x \to + \infty$ thì $y \to - \infty$, do đó hệ số của số hạng chứa ${x^3}$ phải âm ($a < 0$). Loại đáp án A.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 1} \right)$, thay $x = 0$ vào các hàm số còn lại:

Đáp án B: $y = 1$ (Loại).

Đáp án C và D đều cho $y = - 1$.

Đồ thị có điểm cực đại tại $\left( {2;3} \right)$.

Thay $x = 2$ vào hàm số ở đáp án D: $y\left( 2 \right) = - {2^3} + 3 \cdot {2^2} - 1 = - 8 + 12 - 1 = 3$ (Thỏa mãn).

Thay $x = 2$ vào hàm số ở đáp án C: $y\left( 2 \right) = - {2^3} + 3 \cdot 2 - 1 = - 3 \ne 3$ (Loại).

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$:

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm $\left( {1;1} \right)$, suy ra giá trị lớn nhất $M = 1$.

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm $\left( { - 1; - 3} \right)$, suy ra giá trị nhỏ nhất $m = - 3$.

Giá trị của biểu thức cần tìm là: $2M + 3m = 2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 2 - 9 = - 7$.

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ vì tại đó đạo hàm $y' < 0$.

Xét các phương án:

Khoảng $\left( {2;5} \right)$ là tập con của khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2;5} \right)$.

Chọn C.

Tiệm cận ngang:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1$, suy ra đường thẳng $y = 1$ là một tiệm cận ngang.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1$, vẫn là đường thẳng $y = 1$.

Vậy đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận ngang là $y = 1$.

Tiệm cận đứng:

Tại điểm $x = 1$, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty$, suy ra đường thẳng $x = 1$ là một tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận đứng là $x = 1$.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1 + 1 = 2$.

Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD}$.

Chọn B.

Hàm số phân thức hữu tỷ $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ với $c \ne 0,ad - bc \ne 0$:

Tiệm cận đứng là đường thẳng nghiệm của mẫu số: $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Tiệm cận ngang là đường thẳng: $y = \frac{a}{c} = \frac{3}{1} = 3$.

Chọn D.

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ bằng tích độ dài của chúng nhân với côsin của góc xen giữa hai vectơ đó: $\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|\left| {\vec b} \right| \cdot \cos \varphi$.

Chọn A.

Xét hàm số $y = 4{x^3} - 3{x^4}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$.

Đạo hàm: $y' = 12{x^2} - 12{x^3} = 12{x^2}\left( {1 - x} \right)$.

Giải phương trình $y' = 0$: $12{x^2}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]}\\{x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]}\end{array}} \right.$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm nghiệm của đạo hàm:

$y\left( { - 1} \right) = 4 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^4} = - 4 - 3 = - 7$; $y\left( 0 \right) = 4 \cdot {0^3} - 3 \cdot {0^4} = 0$;

$y\left( 1 \right) = 4 \cdot {1^3} - 3 \cdot {1^4} = 4 - 3 = 1$; $y\left( 2 \right) = 4 \cdot {2^3} - 3 \cdot {2^4} = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 16 = 32 - 48 = - 16$.

So sánh các giá trị trên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- 16$ tại $x = 2$.

Chọn A.

Áp dụng quy tắc hình hộp cho ba vectơ chung gốc xuất phát từ đỉnh $D$: $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {DB'}$.

Chọn C.

a) ĐÚNG. Thay $x = 24$ vào hàm số: $f\left( {24} \right) = \frac{{2 \cdot 24 - 3}}{{{{24}^2} + 4}} = \frac{{48 - 3}}{{576 + 4}} = \frac{{45}}{{580}} = \frac{9}{{116}}$.

b) SAI. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 3}}{{{x^2} + 4}} = 0$.

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 0$ (trục hoành) làm tiệm cận ngang, không phải trục tung.

c) ĐÚNG. Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 8 - 4{x^2} + 6x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 6x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}$.

Giải $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên:

Tại $x = 4$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x = 4$.

d) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên, tập giá trị của hàm số là đoạn $\left[ {a;b} \right] = \left[ { - 1;\frac{1}{4}} \right]$.

Tính giá trị biểu thức $3a + 4b = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 \cdot \left( {\frac{1}{4}} \right) = - 3 + 1 = - 2$.

a) ĐÚNG. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB}$.

Do đó: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} } \right) = - {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = - {6^2} = - 36$.

b) ĐÚNG. Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $6$ là: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 6\sqrt 2$.

c) ĐÚNG. Do $CC'$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$ nên $CC' \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} = 0$.

d) ĐÚNG. Áp dụng quy tắc hình hộp: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh $6$ là: $\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} = 6\sqrt 3$.

a) ĐÚNG. Giao điểm với trục tung (cho $x = 0$): $y = \frac{{ - 2 \cdot 0 + 3}}{{0 + 1}} = 3$. Vậy đồ thị giao với trục tung tại $\left( {0;3} \right)$.

b) ĐÚNG. Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$. Đạo hàm: $y' = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot 1 - 3 \cdot 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1$.

Vì $y' < 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Khoảng $\left( {0;1} \right)$ nằm hoàn toàn trong khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$, do đó hàm số nghịch biến trên $\left( {0;1} \right)$.

c) ĐÚNG. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 2 \Rightarrow y = - 2$ là tiệm cận ngang.

d) SAI. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không có điểm cực trị nào vì đạo hàm $y'$ luôn âm (hoặc luôn dương) trên các khoảng xác định và không đổi dấu.

Gọi độ rộng của phần gấp lên ở mỗi bên là $x{\rm{\;(cm)}}$ với điều kiện $0 < 2x < 32 \Leftrightarrow 0 < x < 16$.

Khi đó, phần đáy của máng xối có chiều rộng là: $32 - 2x{\rm{\;(cm)}}$.

Vì hai bên được gấp lên một góc vuông nên thiết diện mặt ngang của máng xối là một hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là $x$ và $32 - 2x$.

Diện tích của thiết diện là: $S\left( x \right) = x\left( {32 - 2x} \right) = 32x - 2{x^2}$.

Đây là một hàm số bậc hai, ta có thể tìm giá trị lớn nhất bằng cách đưa về dạng bình thường hoặc dùng đạo hàm: $S'\left( x \right) = 32 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 8$ (thỏa mãn).

Diện tích lớn nhất thu được là: $S\left( 8 \right) = 8 \cdot \left( {32 - 2 \cdot 8} \right) = 8 \cdot 16 = 128{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

Đáp án: 128.

Trọng lực tác dụng lên đĩa cân có độ lớn là: $P = m \cdot g = 3 \cdot 10 = 30{\rm{\;(N)}}$.

Hệ ở trạng thái cân bằng nên hợp lực của $4$ lực căng xích phải cân bằng với trọng lực $\vec P$. Do tính chất đối xứng của hình chóp tứ giác đều, độ lớn lực căng trên mỗi sợi xích là như nhau ($T = {T_{SA}} = {T_{SB}} = {T_{SC}} = {T_{SD}}$) và hình chiếu của các lực này lên trục thẳng đứng (đường cao $SO$ của hình chóp) đều bằng nhau.

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$, suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Xét tam giác $SAC$ cân tại $S$ và có $\widehat {ASC} = 90^\circ$, suy ra là tam giác vuông cân tại $S$. Do đó góc giữa cạnh bên $SA$ và đường cao $SO$ là: $\widehat {ASO} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

Chiếu điều kiện cân bằng lực lên phương thẳng đứng $SO$:

$4 \cdot T \cdot \cos \widehat {ASO} = P \Leftrightarrow 4 \cdot T \cdot \cos 45^\circ = 30$$\Leftrightarrow 4 \cdot T \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 30 \Leftrightarrow T = \frac{{30\sqrt 2 }}{4}$.

Theo đề bài, độ lớn lực căng có dạng $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$, suy ra $a = 30$.

Đáp án: 30.

Điều kiện xác định: $4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{ - 2x}}{{4 - {x^2}}}$.

Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn).

Qua điểm $x = 0$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ dương sang âm (vì mẫu số luôn dương trên tập xác định, tử số $- 2x > 0$ khi $x < 0$ và $- 2x < 0$ khi $x > 0$). Do đó hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

Tọa độ điểm cực đại $M$: $a = 0$; $b = y\left( 0 \right) = \ln \left( {4 - {0^2}} \right) = \ln 4$.

Giá trị biểu thức: $2a + 3b = 2 \cdot 0 + 3\ln 4 = 3\ln 4 \approx 4{,}16$.

Đáp án: 4,16.

Điều kiện xác định: $25 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5;5} \right]$.

Đạo hàm: $y' = 1 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {25 - {x^2}} }} = 1 - \frac{x}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}$.

Giải phương trình $y' = 0$:

$1 - \frac{x}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {25 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{25 - {x^2} = {x^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{2{x^2} = 25}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Tính giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:

$y\left( { - 5} \right) = - 5 + \sqrt {25 - {{\left( { - 5} \right)}^2}} = - 5$; $y\left( 5 \right) = 5 + \sqrt {25 - {5^2}} = 5$;

$y\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} + \sqrt {25 - \frac{{50}}{4}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = 5\sqrt 2$.

So sánh các giá trị thu được: $- 5 < 5 < 5\sqrt 2$. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $- 5$.

Làm tròn đến hàng đơn vị: $- 5$.

Đáp án: −5.