Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai (Hà Nội) có đáp án

Đạo hàm $f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)$. Ta xét sự đổi dấu của $f'\left( x \right)$ khi qua các nghiệm:

$x = - 1$ là nghiệm bội chẵn, đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm này.

$x = 1$ và $x = 4$ là các nghiệm bội lẻ.

Bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$: Trên khoảng $\left( {1;4} \right)$, đạo hàm mang dấu âm ($-$). Trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$, đạo hàm mang dấu dương ($+$).

Vì $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x = 4$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4$.

Chọn C.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 2}}{{x + 1}} = - x + 4 - \frac{6}{{x + 1}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0$, nên đường thẳng $y = - x + 4$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn A.

Xét hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 5$ trên $\left[ { - 2;3} \right]$.

Đạo hàm: $y' = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right)$;

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( { \in {\rm{\;}}\left[ { - 2;3} \right]} \right)$

Tính giá trị tại các điểm biên và các điểm cực trị:

$y\left( { - 2} \right) = 5$; $y\left( 3 \right) = 50$; $y\left( 0 \right) = 5$; $y\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = 1$.

So sánh các giá trị, ta được giá trị lớn nhất trên $\left[ { - 2;3} \right]$ là $M = 50$.

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$:

Điểm cao nhất của đồ thị có tung độ là $M = 3$ (tại $x = 3$).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ là $m = - 2$ (tại $x = 2$).

Tính giá trị biểu thức: $M - 2m = 3 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 7$.

Chọn D.

Xét hàm lợi nhuận $y = - {x^3} + 150{x^2}$ với $0 \le x \le 200$.

Đạo hàm: $y' = - 3{x^2} + 300x = - 3x\left( {x - 100} \right)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 100$.

Lập bảng biến thiên trên $\left[ {0;200} \right]$, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;100} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {100;200} \right)$. Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 100$. Doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm.

Chọn B.