Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai (Hà Nội) có đáp án

Đạo hàm $f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)$. Ta xét sự đổi dấu của $f'\left( x \right)$ khi qua các nghiệm:

$x = - 1$ là nghiệm bội chẵn, đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm này.

$x = 1$ và $x = 4$ là các nghiệm bội lẻ.

Bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$: Trên khoảng $\left( {1;4} \right)$, đạo hàm mang dấu âm ($-$). Trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$, đạo hàm mang dấu dương ($+$).

Vì $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x = 4$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4$.

Chọn C.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 2}}{{x + 1}} = - x + 4 - \frac{6}{{x + 1}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0$, nên đường thẳng $y = - x + 4$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn A.

Xét hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 5$ trên $\left[ { - 2;3} \right]$.

Đạo hàm: $y' = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right)$;

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( { \in {\rm{\;}}\left[ { - 2;3} \right]} \right)$

Tính giá trị tại các điểm biên và các điểm cực trị:

$y\left( { - 2} \right) = 5$; $y\left( 3 \right) = 50$; $y\left( 0 \right) = 5$; $y\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = 1$.

So sánh các giá trị, ta được giá trị lớn nhất trên $\left[ { - 2;3} \right]$ là $M = 50$.

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$:

Điểm cao nhất của đồ thị có tung độ là $M = 3$ (tại $x = 3$).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ là $m = - 2$ (tại $x = 2$).

Tính giá trị biểu thức: $M - 2m = 3 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 7$.

Chọn D.

Xét hàm lợi nhuận $y = - {x^3} + 150{x^2}$ với $0 \le x \le 200$.

Đạo hàm: $y' = - 3{x^2} + 300x = - 3x\left( {x - 100} \right)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 100$.

Lập bảng biến thiên trên $\left[ {0;200} \right]$, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;100} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {100;200} \right)$. Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 100$. Doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm.

Chọn B.

Từ bảng biến thiên, tại điểm $x = - 7$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ âm sang dương, đồ thị đi xuống rồi đi lên. Do đó giá trị cực tiểu của hàm số thu được tại đây bằng $- 12$.

Chọn B.

Hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{5x - 1}}$ có nghiệm của mẫu số là $5x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^ + }} y = - \infty$ nên đường thẳng $x = \frac{1}{5}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình hàm số ta được: $y = {0^3} + 6 \cdot 0 - 7 = - 7$. Tung độ giao điểm bằng $- 7$.

Chọn C.

Xét $y = {x^3} - 3{x^2} + 2024 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$.

Xét dấu đạo hàm: $y' > 0 \Leftrightarrow x < 0$ hoặc $x > 2$.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy $f'\left( x \right) \le 0$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. Vì khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ là tập con của $\left( {1; + \infty } \right)$ nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn D.

Xét $f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}$ trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$.

Đạo hàm: $f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {2;3} \right]$.

Hàm số đồng biến trên $\left[ {2;3} \right]$ nên giá trị nhỏ nhất đạt được tại đầu mút $x = 2$:

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{{2 - 3}}{{2 - 1}} = - 1$.

Chọn D.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba dạng $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$. Nhánh cuối của đồ thị (bên phải ngoài cùng) đi lên phía trên chứng tỏ hệ số $a > 0$. Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ và có 2 điểm cực trị đối xứng qua $O$. Đối chiếu với các phương án, chỉ có hàm số $y = {x^3} - 3x$ ở phương án A là thỏa mãn.

Chọn A.

a) Sai. Vì đạo hàm chuẩn phải là $y' = - 3{x^2} + 6x$.

b) Đúng. Với $x \in \left( {2; + \infty } \right)$ thì $y' = - 3x\left( {x - 2} \right) < 0$ nên hàm số nghịch biến.

c) Sai. Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 0$ (tại đó $y'$ đổi dấu từ âm sang dương).

d) Đúng. Đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a < 0$, có hai điểm cực trị là $\left( {0; - 2} \right)$ và $\left( {2;2} \right)$, đồ thị cắt trục hoành tại điểm $\left( {1;0} \right)$, hoàn toàn khớp với hình đã cho.

a) Đúng. Điều kiện xác định là $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) Sai. Đạo hàm của hàm số là $y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

c) Đúng. Đạo hàm bằng 0 tại $x = 0$ và $x = 2$. Qua điểm $x = 0$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 0$ là điểm cực đại.

d) Đúng. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng, $y = x + 2$ làm tiệm cận xiên, tọa độ các điểm cực trị khớp hoàn toàn với hình vẽ.

a) Sai. Hàm số không xác định tại điểm $x = - \frac{1}{2}$ nên tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$.

b) Sai. Khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$ chứa điểm không xác định $x = - \frac{1}{2}$ nên hàm số không liên tục và không đồng biến trên toàn khoảng này.

c) Sai. Hàm số đổi dấu qua cực trị duy nhất là điểm cực đại $x = 3$.

d) Đúng. Trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm cực đại $x = 3$ với giá trị tương ứng bằng $4$.

a) Đúng. Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 8t + 9$.

b) Sai. Vận tốc tại thời điểm $t = 3$ giây là: $v\left( 3 \right) = - {3^2} + 8 \cdot 3 + 9 = 24{\rm{\;m/s}}$.

c) Đúng. Vật đứng yên khi vận tốc bằng 0: $- {t^2} + 8t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 9$ (s) (do $t \ge 0$).

Quãng đường vật đi được từ lúc khởi hành là: $s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3} \cdot {9^3} + 4 \cdot {9^2} + 9 \cdot 9 = 162{\rm{\;m}}$.

d) Đúng. Vật tăng tốc khi gia tốc lớn hơn 0: $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 2t + 8 > 0 \Leftrightarrow t < 4$. Vậy trong 9 giây đầu, vật tăng tốc khi $t \in \left[ {0;4} \right]$.

Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số bậc ba, vị trí đỉnh lồi cao lên tương ứng với hoành độ cực đại $x = 1$ và tung độ cực đại bằng $3$. Vậy giá trị cực đại của hàm số là $3$.

Đáp số: 3.

Xét $y = {x^3} - 3x + 4$ trên $\left[ {0;2} \right]$. Ta có $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0;2} \right]$.

Tính các giá trị: $y\left( 0 \right) = 4$, $y\left( 1 \right) = 2$, $y\left( 2 \right) = 6$. Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $2$.

Đáp số: 2.

Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận ngang $y = 3$. Tâm đối xứng (giao điểm của hai đường tiệm cận) là $I\left( { - 1;3} \right) \Rightarrow a = - 1,b = 3$. Do đó, biểu thức $a + b = - 1 + 3 = 2$.

Đáp số: 2.

Hàm lợi nhuận thu được là $L\left( x \right) = 200x - C\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} + 288x - 592$ trên $\left[ {1;20} \right]$.

Đạo hàm $L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x + 288 = 0 \Leftrightarrow x = 12 \in \left[ {1;20} \right]$.

Lập bảng biến thiên, giá trị lợi nhuận tối đa đạt được tại $x = 12$: $L\left( {12} \right) = 2000$ (nghìn đồng).

Đáp số: 2000.

Quần thể vi khuẩn giảm dần khi đạo hàm $P'\left( t \right) < 0$.

Ta tính đạo hàm: $P'\left( t \right) = 2000 \cdot \frac{{4\left( {49 + {t^2}} \right) - 4t\left( {2t} \right)}}{{{{\left( {49 + {t^2}} \right)}^2}}} = 2000 \cdot \frac{{196 - 4{t^2}}}{{{{\left( {49 + {t^2}} \right)}^2}}}$.

Để $P'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 196 - 4{t^2} < 0 \Leftrightarrow {t^2} > 49 \Leftrightarrow t > 7$ (vì $t \ge 0$). Vậy từ thời điểm $7$ giờ thì số lượng vi khuẩn bắt đầu giảm dần.

Đáp số: 7.

Đổi các kích thước sang đơn vị dm: tấm tôn rộng $45{\rm{\;cm}} = 4{,}5{\rm{\;dm}}$, chiều dài $60{\rm{\;cm}} = 6{\rm{\;dm}}$. Khi gập thành 3 phần bằng nhau, đáy và hai cạnh bên của mặt cắt hình thang cân đều dài $1{,}5{\rm{\;dm}}$.

Chiều cao của hình thang cân: $h = 1{,}5\sin x$.

Diện tích mặt cắt ngang của máng: $S = \frac{{\left[ {1{,}5 + \left( {1{,}5 + 2 \cdot 1{,}5\cos x} \right)} \right] \cdot 1{,}5\sin x}}{2} = 2{,}25\sin x\left( {1 + \cos x} \right)$.

Thể tích máng nước: $V = S \cdot 6 = 13{,}5\sin x\left( {1 + \cos x} \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \sin x\left( {1 + \cos x} \right)$ trên $\left( {0;\pi } \right)$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = \frac{\pi }{3}$ với $f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

Dung tích tối đa bằng: ${V_{{\rm{max}}}} = 13{,}5 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 17{,}537{\rm{\;d}}{{\rm{m}}^3}$. Làm tròn đến hàng phần chục ta được kết quả là $17{,}5$.

Đáp số: 17,5.