Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT An Lạc (TP.HCM) có đáp án

Hình chóp $S.ABCDE$ có đáy là một ngũ giác $ABCDE$ (1 mặt đáy). Từ đỉnh $S$ nối với 5 đỉnh của đáy tạo thành 5 mặt bên (gồm các tam giác $SAB,SBC,SCD,SDE,SEA$).

Tổng số mặt là: 6.

Chọn đáp án: D. 6.

Ta sử dụng công thức cộng: ${\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = {\rm{sin}}a{\rm{cos}}b + {\rm{cos}}a{\rm{sin}}b$. Cần tìm ${\rm{cos}}a$ và ${\rm{sin}}b$.

Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên ${\rm{cos}}a < 0$: ${\rm{cos}}a = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}$.

Vì $0 < b < \frac{\pi }{2}$ nên ${\rm{sin}}b > 0$: ${\rm{sin}}b = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \frac{4}{5}$.

Thay vào công thức cộng: ${\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = \left( {\frac{5}{{13}}} \right)\left( {\frac{3}{5}} \right) + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)\left( {\frac{4}{5}} \right) = \frac{{15}}{{65}} - \frac{{48}}{{65}} = \frac{{ - 33}}{{65}}$.

Chọn đáp án: A. $\frac{{ - 33}}{{65}}$.

Ta có $2{\rm{sin}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}x&{ = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\x&{ = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Tính toán số nghiệm: Ta tìm số giá trị nguyên $k$ sao cho nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]$.

Họ nghiệm 1: $- \frac{{3\pi }}{2} \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{61}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$ (6 nghiệm).

Họ nghiệm 2: $- \frac{{3\pi }}{2} \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{4}{3} \le k \le \frac{{53}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}$ (6 nghiệm).

Tổng số nghiệm trên đoạn là: $6 + 6 = 12$ nghiệm.

Chọn đáp án: A. 12.

Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV $\left( {\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi } \right)$ nên ${\rm{sin}}\alpha < 0$.

${\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{21}}{{25}}} = - \frac{{\sqrt {21} }}{5}$.

Chọn đáp án: D. $- \frac{{\sqrt {21} }}{5}$.

$\sqrt 3 + 3{\rm{tan}}x = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{tan}}x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow {\rm{tan}}x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

${\rm{tan}}x = {\rm{tan}}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án: B. $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.