Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Trần Văn Giàu (TP.HCM) có đáp án

Quan sát đường tròn lượng giác, điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ nhất, tạo với trục hoành một góc bằng $\frac{\pi }{3}$. Do đó, điểm $M$ biểu diễn cho họ góc lượng giác có số đo là $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi$.

Điểm $N$ nằm đối xứng với điểm $M$ qua gốc tọa độ $O$. Khi đó, điểm $N$ cách điểm $M$ một nửa đường tròn, tương ứng với một góc $\pi$. Số đo góc biểu diễn điểm $N$ là $x = \frac{\pi }{3} + \pi + k2\pi = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi$.

Để gộp hai điểm biểu diễn $M$ và $N$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ vào cùng một công thức, ta sử dụng chu kỳ $k\pi$. Công thức tổng quát biểu diễn cho cả hai điểm là: $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn B.

Xét mặt phẳng phụ $\left( {SBD} \right)$ chứa đường thẳng $DM$.

Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ $\left( {SBD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$:

Điểm chung thứ nhất là $S$.

Trong mặt đáy $ABCD$, $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Khi đó $O \in AC \subset \left( {SAC} \right)$ và $O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $SO$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, đường thẳng $DM$ cắt giao tuyến $SO$ tại một điểm (gọi là $I$).

Vì $I \in SO$ mà $SO \subset \left( {SAC} \right)$ nên $I \in \left( {SAC} \right)$. Vậy $I$ chính là giao điểm của $DM$ với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Chọn B.

Tìm điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$:

Rõ ràng điểm $S$ là điểm chung thứ nhất.

Xét trong mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$: Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ (giao điểm của $AC$ và $BD$). Do $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên đoạn thẳng $MN$ cũng đi qua tâm đối xứng $O$ của hình bình hành.

Vì $O \in MN$ nên $O \in \left( {SMN} \right)$. Đồng thời $O \in AC$ nên $O \in \left( {SAC} \right)$. Vậy $O$ là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là đường thẳng $SO$.

Chọn C.

Ta có: $\alpha = 108 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{108}}{{180}}\pi = \frac{{3\pi }}{5}{\rm{\;rad}}$.

Chọn C.

Áp dụng công thức cộng đối với hàm côsin: ${\rm{cos}}\left( {A + B} \right) = {\rm{cos}}A{\rm{cos}}B - {\rm{sin}}A{\rm{sin}}B$.

Đặt $A = x - y$ và $B = y$, biểu thức trở thành: $M = {\rm{cos}}\left[ {\left( {x - y} \right) + y} \right] = {\rm{cos}}x$.

Chọn C.