Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Phong Phú (TP.HCM) có đáp án

a) Ta có ${\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}$. Suy ra $\cos a = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

Vì $0 < a < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos a > 0$, do đó $\cos a = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

Khi đó ta có, $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}$; $\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}$.

b) Ta có $\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = - \frac{1}{8}$.

a) $\cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) $\tan 2x = 1$

$\Leftrightarrow \tan 2x = \tan \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) $2\left( {\sin x + 3} \right){\cos ^4}\frac{x}{2} - \sin x\left( {1 + \cos x} \right) - 3\cos x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\left( {\sin x + 3} \right){\cos ^4}\frac{x}{2} - 2\sin x{\cos ^2}\frac{x}{2} - 6{\cos ^2}\frac{x}{2} + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right){\cos ^4}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}\left( {\sin x + 3} \right) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2}\left( {\sin x + 3} \right)\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2}\left( {\sin x + 3} \right)\left( { - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ { - \frac{1}{4} \cdot {{\left( {2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} \right]\left( {\sin x + 3} \right) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{4}{\sin ^2}x\left( {\sin x + 3} \right) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right){\left( {\sin x + 2} \right)^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x = - 2\,\,\left( {{\rm{vn}}} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có $- 1 \le \cos \left( {\frac{x}{{10}} - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {\frac{x}{{10}} - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow 6 \le 2\cos \left( {\frac{x}{{10}} - \frac{\pi }{3}} \right) + 8 \le 10$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow 6 \le y \le 10$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là $T = \left[ {6;\,\,10} \right]$.

a) Ta có $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $E = AD \cap BC$.

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\E \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là $SE$.

b) Ta có $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, ta có $AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Mà $AB \subset \left( {SAB} \right),\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)$.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua điểm $S$ và song song với $AB$ (hoặc $CD$), gọi đường thẳng này là $Sx$.

Vậy $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx$.

c) Ta có $MN \subset \left( {SAN} \right)$ và $S \in \left( {SAN} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AN \cap BD$.

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}O \in AN \subset \left( {SAN} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAN} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAN} \right)$, gọi $I = MN \cap SO$.

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}I \in MN\\I \in SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$.

Vậy $MN \cap \left( {SBD} \right) = I$.