Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Hữu Cảnh (TP.HCM) có đáp án

a) Ta có: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{4}{5}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5}$.

Ta có: $\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} + \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}$.

b) $VT = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} + \frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\sin x}} = \frac{{2 + 2\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\sin x}}{\rm{ = }}\frac{2}{{\sin x}} = VP$

a) Ta có:

$\begin{array}{l} - 1 \le \cos 2x \le 1\\ \Leftrightarrow - 3 \le 3\cos 2x \le 3\\ \Leftrightarrow 2 \le 3\cos 2x + 5 \le 8\\ \Leftrightarrow 2 \le y \le 8\end{array}$

Vậy tập giá trị của hàm số: $T = \left[ {2;8} \right]$.

b) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}2x \ne 0\\\sin x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$

a)

$$\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \vee x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$$

b) $\sin (\frac{\pi }{3} + 3x) = \frac{1}{2}$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} + 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{3} + 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$$

Lúc $12$ giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số $12$. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng mà hai kim vẫn chưa gặp nhau.

Hiệu vận tốc của hai kim là: $1 - \frac{1}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}$(vòng đồng hồ/giờ).

Kể từ lúc $1$ giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là: $\frac{1}{{12}} \div \frac{{11}}{{12}} = \frac{1}{{11}}$(giờ).

Kể từ lúc $12$ giờ, thời gian để hai kim chập nhau lần đầu tiên là: $1 + \frac{1}{{11}} = \frac{{12}}{{11}}$(giờ).

Trong $1$ giờ kim phút quay được một vòng$\Rightarrow$ Kim phút quay được $2\pi \left( {radian} \right)$.

Trong $\frac{{12}}{{11}}$ giờ kim phút quay được là: $\frac{{12}}{{11}} \times 2\pi = \frac{{24\pi }}{{11}}\left( {radian} \right)$.

Do cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm$\Rightarrow$ Kim phút quay được là: $- \frac{{24\pi }}{{11}}\left( {radian} \right)$.

Ta có : ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 3}} = \frac{{2n + 3}}{{n + 4}}$

$${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 3}}{{n + 4}} - \frac{{2n + 1}}{{n + 3}} = \frac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 4} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{5}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$$

Vậy $({u_n})$là dãy số tăng.