Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Gia Định (TP.HCM) có đáp án

Ta có ${\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = 1 - {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Vì $90^\circ < a < 180^\circ$ nên $\sin a > 0$, do đó $\sin a = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = \frac{4}{5}$.

Ta có $A = \sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{{ - 3}}{5} = \frac{{ - 24}}{{25}}$;

$B = \cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = 2 \cdot {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} - 1 = - \frac{{119}}{{169}}$.

Lại có $\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2 \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} - 1 = - \frac{7}{{25}}$;

Khi đó, $C = \cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{{25}} + \frac{{ - 119}}{{169}}} \right) = - \frac{{2079}}{{4225}}$.

Ta có ${\cos ^2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Các nghiệm thuộc nửa khoảng $\left( { - 2;\,\,3} \right]$ là $- \frac{\pi }{4};\,\,\frac{\pi }{4};\,\frac{{3\pi }}{4}$.

Tổng các nghiệm trên là $\frac{{3\pi }}{4}$.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_8} + {u_6} - {u_3} = 41\\{u_2} + {u_{10}} = 42\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 7d + {u_1} + 5d - {u_1} - 2d = 41\\{u_1} + d + {u_1} + 9d = 42\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10d = 41\\2{u_1} + 10d = 42\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 4\end{array} \right.$.

b) Ta có $A = {u_{23}} + {u_{24}} + {u_{25}} + {u_{26}} + ... + {u_{60}} = {S_{60}} - {S_{22}}$.

${S_{60}} = \frac{{60\left( {2 \cdot 1 + 59 \cdot 4} \right)}}{2} = 7\,140$; ${S_{22}} = \frac{{22\left( {2 \cdot 1 + 21 \cdot 4} \right)}}{2} = 946$.

Vậy $A = {S_{60}} - {S_{22}} = 7\,140 - 946 = 6194$.

a) Ta có $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$. (1)

Trong $\left( {ABCD} \right)$, gọi $AD \cap BC = I$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\I \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI$.

b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.$. Suy ra $Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ với $Sx\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD$.

c) Trong $\left( {SAB} \right)$, gọi $H = MN \cap AB$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.$. Vậy $H = MN \cap \left( {ABCD} \right)$.

d) Trong $\left( {MDH} \right)$, gọi $O = MK \cap DN$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}O \in MK \subset \left( {SAK} \right)\\O \in DN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)$. (3)

Vì $E = BD \cap AK$ nên $\left\{ \begin{array}{l}E \in AK \subset \left( {SAK} \right)\\E \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)$. (4)

Lại có $S \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)$. (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra $S,\,E,\,O$ thẳng hàng.

Do đó, $O \in SE$.

Vậy MK, DN, SE đồng quy tại O.