Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Lê Quý Đôn (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

a .Thay x = 1 (TMĐK) vào A, ta được:

$$A = \frac{{2.1 + 6}}{{1 - 5}} = \frac{8}{{ - 4}} = - 2$$

Vậy $A = - 2$ khi x = 1.

b. $B = \left( {\frac{4}{{x - 5}} + \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 25}} - \frac{1}{{x + 5}}} \right).\frac{{{x^2} + 5x}}{{x + 4}}$

$$= \left[ {\frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{3x - 1}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{x - 5}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}} \right].\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}$$

$$= \frac{{4\left( {x + 5} \right) + 3x - 1 - \left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}$$

$$= \frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}$$

$$= \frac{{6x}}{{x - 5}}$$

c. Cho $P = \frac{A}{B}$. Tìm x để $P = \frac{3}{4}$.

$P = \frac{A}{B} = \frac{{2x + 6}}{{x - 5}}:\frac{{6x}}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{3x}}$ $\left( {x \ne - 4\,;\,\,x \ne \pm 5\,;\,\,x \ne 0} \right)$

Với $P = \frac{3}{4}$ thì $\frac{{x + 3}}{{3x}} = \frac{3}{4}$

Suy ra $4\left( {x + 3} \right) = 3 \cdot 3x$

$$\,4x + 12 = 9x$$

$$5x = 12$$

$$x = \frac{{12}}{5}\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$$

Gọi số áo xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc) (ĐK: $x \in {\mathbb{N}^*}$)

Thời gian xưởng may theo kế hoạch là: $\frac{x}{{30}}$ (ngày)

Thực tế mỗi ngày xưởng may được số chiếc áo là: 30 + 10 = 40 (chiếc)

Tổng số áo xưởng may được trên thực tế là: x + 20 (chiếc)

Thời gian xưởng may thực tế là: $\frac{{x + 20}}{{40}}$ (ngày)

Ta có phương trình: $\frac{x}{{30}} - \frac{{x + 20}}{{40}} = 2$

Giải phương trình ra x = 300 (TMĐK).

Vậy số áo xưởng phải may theo kế hoạch là 300 chiếc.

1 ${\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} = 2x\left( {x + 3} \right) - 7$

${x^2} + 2x + 1 + {x^2} = 2{x^2} + 6x - 7$

${x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2{x^2} - 6x + 7 = 0$

$$- 4x + 8 = 0$$

$x = 2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$.

2

a Cho x = 0 suy ra y = 4

Cho y = 0 suy ra $x = - 4$

Đồ thị của hàm số $y = x + 4$ là một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0\,;\,\,4} \right)$ và $\left( { - 4\,;\,\,0} \right)$

Vẽ đồ thị (d) của hàm số $y = x + 4$

b Gọi giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ với đường thẳng $\left( {d'} \right)$ là $I\left( {{x_I}\,;\,\,{y_I}} \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \in d\\I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \in d'\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{y_I} = {x_I} + 4\\{y_I} = 2{x_I} + 1\end{array} \right.$

Suy ra $2{x_I} + 1 = {x_I} + 4$, do đó ${x_I} = 3$

Thay x = 3 vào $\left( d \right)$, ta được: $y = 3 + 4 = 7$

Vậy giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( {d'} \right)$ là điểm $I\left( {3\,;\,\,7} \right).$

1 Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng.

Diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng là: ${S_{xq}} = p \cdot d = 2 \cdot 25 \cdot 32 = 1600\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

2

***a Chứng minh* **.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {BAD} = 90^\circ$

Vì AH vuông góc với BD tại H nên $\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (cmt)

$\widehat {ABH}$ chung

Do đó (g.g)

***b Chứng minh* **$B{C^2} = BD.DH$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HAD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ$ (cmt)

$\widehat {ADH}$ chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}$, do đó $A{D^2} = BD \cdot DH$.

Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật) nên $B{C^2} = BD.DH$

c Chứng minh **$\Delta AIE$ cân và $AE.KA = IH.KB$. **

Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên $\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}$.

Vì nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $\,\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AID$, có: $\widehat {AIE} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}}$ (tính chất góc ngoài) (2)

Xét $\Delta DEB$, có: $\widehat {AEI} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}$ (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {AIE} = \widehat {AEI}$ nên $\Delta AIE$ cân tại A suy ra$AE = AI$

Xét $\Delta ADH$ có DI là đường phân giác $\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}$

Mà AE = AI (cmt) (4)

Suy ra $\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ nên $\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (*)

Xét $\Delta ADB$ có DE là đường phân giác $\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}$ do đó$A{E^2} = IH.EB$.

Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn ${a^2} + {b^2} = 1$. Đặt $P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}$. Chứng minh: ${\left( {P + 1} \right)^2} \le 2$.

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab$ nên $2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1$ (do ${a^2} + {b^2} = 1$)

Đặt $x = a + b$ nên $2ab = {x^2} - 1$

Mặt khác ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ với mọi $a,b$

Suy ra ${a^2} + {b^2} \ge 2ab\,$nên $1 \ge {x^2} - 1\,$ hay ${x^2} \le 2$

Ta có: $P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1$

${\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2}$

Mà ${x^2} \le 2$ nên ${\left( {P + 1} \right)^2} \le 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \sqrt {\frac{1}{2}}$.