Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 năm 2024-2025 THCS Nghĩa Tân (Hà Nội) có đáp án

1) Thay $x = 3$ (TMĐK) vào biểu thức $A$, ta có: $A = \frac{3}{{3 + 5}} = \frac{3}{8}.$

2) Với $x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5,$ ta có:

$B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}$

$= \frac{{{x^2} - 2 - \left( {x + 2} \right) + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 2 - x - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{x}$.

Với $x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5,$ ta có:

$P = A \cdot B = \frac{x}{{x + 5}} \cdot \frac{{x - 2}}{x} = \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{x + 5 - 7}}{{x + 5}} = 1 - \frac{7}{{x + 5}}$.

Để $P$ nguyên khi $1 - \frac{7}{{x + 5}}$ nguyên, suy ra $\frac{7}{{x + 5}} \in \mathbb{Z}$

Khi đó $x + 5 \in$Ư$\left( 7 \right) = \left\{ {1\,;\,\, - 1\,;\,\,7\,;\,\, - 7} \right\}$ nên $x \in \left\{ { - 4\,;\,\, - 6\,;\,\,2\,;\,\, - 12} \right\}$.

Mà $x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5$ và $x$ là số nguyên nhỏ nhất nên $x = - 12$.
Vậy $x$ nguyên nhỏ nhất để $P$ có giá trị là số nguyên thì $x = - 12$.

1) a) $3\left( {x - 2} \right) + 5 = 2x$

$3x - 6 + 5 = 2x$

$3x - 2x = 6 + 5$

$x = 11$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 11$.

b) $\frac{{x - 2}}{3} + \frac{{2x - 3}}{6} = 1$

$\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{3} + \frac{{2x - 3}}{6} = \frac{6}{6}$

$2\left( {x - 2} \right) + 2x - 3 = 6$

$2x - 4 + 2x - 3 = 6$

$4x - 7 = 6$

$4x = 13$

$x = \frac{{13}}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{13}}{4}$.

2) Gọi x (triệu đồng) là số tiền ông Hùng gửi tại ngân hàng A $\left( {x > 0} \right).$

Số tiền ông Hùng gửi tại ngân hàng B là: $300 - x$ (triệu đồng)

Số tiền lãi nhận được từ ngân hàng A là: $6\% \cdot x = 0{,}06x$ (triệu đồng).

Số tiền lãi nhận được từ ngân hàng B là: $5{,}8\% \left( {300 - x} \right)\; = 0{,}058\left( {300 - x} \right)$(triệu đồng).

Vì ông Hùng nhận được tất cả $17{,}72$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$0{,}06x + 0{,}058\left( {300 - x} \right) = 17{,}72$.

Giải phương trình tìm được x = 160 (TMĐK) .

Vậy ông Hùng gửi 160 triệu đồng tại ngân hàng A và 140 triệu đồng tại ngân hàng B.

1) Đồ thị của hàm số $y = 2x - 4$ là một đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0\,;\,\, - 4} \right)$ và $\left( {2\,;\,\,0} \right).$

Đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ song song với đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ khi ${m^2} + 1 = 2$ và $m - 3 \ne - \,4$.

Suy ra ${m^2} = 1$ và $m \ne - 1$. Do đó m = 1.

1) Thể tích của nước trong phễu bằng thể tích của hình chóp tứ giác đều. Thể tích nước chứa trong phễu là: $V = \frac{1}{3} \cdot {3^2} \cdot 4 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Vậy thể nước trong phễu là $12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.$

2) a) Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$ có

$\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ$; $\widehat {ABH}$ chung.

Do đó (g.g).

b) Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HCA$ có

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$; $\widehat {ABH} = \widehat {HAC}$ (cùng phụ $\widehat {BAH}\,).$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ do đó $A{H^2} = HB \cdot HC$.

c) Vì $M$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$ nên $HM \bot AC$, mà $BA \bot AC$ nên $HM\,{\rm{//}}\,BA$ hay $HQ\,{\rm{//}}\,BQ.$

Suy ra $\widehat {QHC} = \widehat {PBC}$ (hai góc đồng vị).

Xét $\Delta QHC$ và $\Delta PBC$ có $\widehat {QHC} = \widehat {PBC}$ (cmt); $\widehat {HCQ}$ chung.

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{CQ}}{{CP}}$.

Chứng minh tương tự ta có $\frac{{QM}}{{PA}} = \frac{{CQ}}{{CP}}$. Do đó $\frac{{QH}}{{PB}} = \frac{{QM}}{{PA}}$.

Mà $PA = PB$ (vì $P$ là trung điểm của $AB$) nên $QM = QH$.

Xét $\Delta IHM$ và $\Delta IAB$ có

$\frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{AP}}{{HQ}}} \right)$; $\widehat {IHM} = \widehat {IAB}$ ($HM\,{\rm{//}}\,BA$, so le trong).

Do đó (c.g.c).

Suy ra $\widehat {MIH} = \widehat {AIB}$, do đó $B,\,\,I,\,\,M$ thẳng hàng.

Gọi $x\,\,{\rm{(m)}}$ là độ dài cạnh vuông góc với bờ biển;

$y\,\,{\rm{(m)}}$ là độ dài cạnh song song với bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” $\left( {x,\,\,y > 0} \right).$

Độ dài dây phao là $300\,\,{\rm{m}}$ nên $2x + y = 300$, suy ra $y = 300 - 2x.$

Vì người tắm chỉ được bơi cách bờ biển không quá $25\,\,{\rm{m}}$ nên $x \le 25.$

Diện tích “khu vực tắm biển an toàn” có thể quây được là $S = xy.$

Suy ra $S = x\left( {300 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 300x = - 2{\left( {x - 75} \right)^2} + 11\,\,250.$

Vì $x \le 25$ nên $x - 75 \le - 50$.

Suy ra $75 - x \ge 50 > 0$ nên ${\left( {75 - x} \right)^2} \ge 2\,\,500.$

$- 2{\left( {75 - x} \right)^2} \le - 5\,\,000$

$- 2{\left( {75 - x} \right)^2} + 11\,\,250 \le 6\,\,250$.

Do đó $S \le 6\,\,250$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 25$ (TMĐK).

Khi đó, $y = 300 - 2x = 300 - 2 \cdot 25 = 250.$

Vậy diện tích lớn nhất của “khu vực tắm biển an toàn” là $6\,\,250\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ và chiều dài bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” là $250\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$