TopStudy

Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án (mã đề 345)

21 câu · 32 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho a⃗=−i⃗+2j⃗+3k⃗\vec a = - \vec i + 2\vec j + 3\vec k. Tọa độ của a⃗\vec a là

  1. Đáp án A: (−2;−1;−3)\left( { - 2; - 1; - 3} \right).
  2. Đáp án B: (−3;2;−1)\left( { - 3;2; - 1} \right).
  3. Đáp án C: (2;−3;−1)\left( {2; - 3; - 1} \right).
  4. Đáp án D: (−1;2;3)\left( { - 1;2;3} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Theo định nghĩa tọa độ của vectơ trong không gian: Nếu a⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k thì a⃗=(x;y;z)\vec a = \left( {x;y;z} \right).

Từ giả thiết a⃗=−1i⃗+2j⃗+3k⃗\vec a = - 1\vec i + 2\vec j + 3\vec k, suy ra tọa độ của a⃗\vec a là (−1;2;3)\left( { - 1;2;3} \right).

Chọn D.

Câu 2

1 điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz cho hai vectơ a⃗=(1;1;−2)\vec a = \left( {1;1; - 2} \right), b⃗(−2;1;4)\vec b\left( { - 2;1;4} \right). Tìm tọa độ của vectơ u⃗=a⃗−2b⃗\vec u = \vec a - 2\vec b.
  1. Đáp án A: (5;−1;−10)\left( {5; - 1; - 10} \right).
  2. Đáp án B: (0;3;0)\left( {0;3;0} \right).
  3. Đáp án C: (−3;3;6)\left( { - 3;3;6} \right).
  4. Đáp án D: (5;−1;10)\left( {5; - 1;10} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có: a⃗=(1;1;−2)\vec a = \left( {1;1; - 2} \right); 2b⃗=(2⋅(−2);2⋅1;2⋅4)=(−4;2;8)2\vec b = \left( {2 \cdot \left( { - 2} \right);2 \cdot 1;2 \cdot 4} \right) = \left( { - 4;2;8} \right).

Tọa độ của vectơ u⃗=a⃗−2b⃗\vec u = \vec a - 2\vec b là: u⃗=(1−(−4);1−2;−2−8)=(5;−1;−10)\vec u = \left( {1 - \left( { - 4} \right);1 - 2; - 2 - 8} \right) = \left( {5; - 1; - 10} \right).

Chọn A.

Câu 3

1 điểm
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x3−6xf\left( x \right) = {x^3} - 6x trên [−1;4]\left[ { - 1;4} \right] là
  1. Đáp án A: −42- 4\sqrt 2.
  2. Đáp án B: −5- 5.
  3. Đáp án C: 55.
  4. Đáp án D: 4040.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Xét hàm số f(x)=x3−6xf\left( x \right) = {x^3} - 6x trên đoạn [−1;4]\left[ { - 1;4} \right].

Đạo hàm: f′(x)=3x2−6f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6.

Giải phương trình f′(x)=0⇔3x2−6=0⇔x2=2⇔x=±2f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2.

Vì xét trên đoạn [−1;4]\left[ { - 1;4} \right] nên ta chỉ nhận giá trị x=2x = \sqrt 2 (do −2∉[−1;4]- \sqrt 2 \notin \left[ { - 1;4} \right]).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

f(−1)=(−1)3−6⋅(−1)=5f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5;

f(4)=43−6⋅4=64−24=40f\left( 4 \right) = {4^3} - 6 \cdot 4 = 64 - 24 = 40;

f(2)=(2)3−62=22−62=−42f\left( {\sqrt 2 } \right) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} - 6\sqrt 2 = 2\sqrt 2 - 6\sqrt 2 = - 4\sqrt 2.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là −42- 4\sqrt 2.

Chọn A.

Câu 4

1 điểm

Thầy Thảo thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:

Đường kính (cm)[40;45)\left[ {40;45} \right)[45;50)\left[ {45;50} \right)[50;55)\left[ {50;55} \right)[55;60)\left[ {55;60} \right)[60;65)\left[ {60;65} \right)
Tần số2051873

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

  1. Đáp án A: 2525.
  2. Đáp án B: 3030.
  3. Đáp án C: 66.
  4. Đáp án D: 69,869{,}8.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu.

Nhóm đầu tiên là [40;45)\left[ {40;45} \right) có đầu mút trái là 4040.

Nhóm cuối cùng là [60;65)\left[ {60;65} \right) có đầu mút phải là 6565.

Khoảng biến thiên là: R=65−40=25R = 65 - 40 = 25.

Chọn A.

Câu 5

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) liên tục trên đoạn [−1;3]\left[ { - 1;3} \right] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hình minh hoạ

Gọi MM và mm lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1;3]\left[ { - 1;3} \right]. Khi đó, tổng M+mM + m bằng:

  1. Đáp án A: −6- 6.
  2. Đáp án B: −2- 2.
  3. Đáp án C: −5- 5.
  4. Đáp án D: 22.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn [−1;3]\left[ { - 1;3} \right]:

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm có tọa độ (−1;2)\left( { - 1;2} \right), do đó giá trị lớn nhất M=2M = 2.

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm có tọa độ (2;−4)\left( {2; - 4} \right), do đó giá trị nhỏ nhất m=−4m = - 4.

Vậy tổng M+m=2+(−4)=−2M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2.

Chọn B.

Câu 6

1 điểm
Đồ thị hàm số y=5x−24x2−4y = \frac{{5x - 2}}{{4{x^2} - 4}} có đường tiệm cận ngang là:
  1. Đáp án A: y=2y = 2.
  2. Đáp án B: y=0y = 0.
  3. Đáp án C: y=1y = 1.
  4. Đáp án D: y=−2y = - 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Cho hàm số y=x3−3x2+2y = {x^3} - 3{x^2} + 2. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là:
  1. Đáp án A: (2;2)\left( {2;2} \right).
  2. Đáp án B: (2;−2)\left( {2; - 2} \right).
  3. Đáp án C: (0;−2)\left( {0; - 2} \right).
  4. Đáp án D: (0;2)\left( {0;2} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm
Phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm là 3636 thì độ lệch chuẩn của mẫu là:
  1. Đáp án A: 66.
  2. Đáp án B: 3636.
  3. Đáp án C: 1616.
  4. Đáp án D: 12961296.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+dy = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d có bảng biến thiên sau:

Hình minh hoạ

Đồ thị nào dưới đây thể hiện hàm số y=f(x)y = f\left( x \right)?

Hình minh hoạ

  1. Đáp án A: Hình I.
  2. Đáp án B: Hình II.
  3. Đáp án C: Hình III.
  4. Đáp án D: Hình IV.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Hàm số nào sau đây đồng biến trên R\mathbb{R}?
  1. Đáp án A: y=x3−3x2−14y = {x^3} - 3{x^2} - 14.
  2. Đáp án B: y=x3−x2+12x−9y = {x^3} - {x^2} + 12x - 9.
  3. Đáp án C: y=2x−2x+1y = \frac{{2x - 2}}{{x + 1}}.
  4. Đáp án D: y=x4+2x2y = {x^4} + 2{x^2}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?

Hình minh hoạ

  1. Đáp án A: y=2x−7x−2y = \frac{{2x - 7}}{{x - 2}}.
  2. Đáp án B: y=2x+1x+2y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}.
  3. Đáp án C: y=2x+1x−2y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}.
  4. Đáp án D: y=−x+2x−1y = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm
Cho hàm số y=−x+2x−1y = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}, khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
  1. Đáp án A: Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1)∪(1;+∞)\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).
  2. Đáp án B: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1)\left( { - \infty ;1} \right) và (1;+∞)\left( {1; + \infty } \right).
  3. Đáp án C: Hàm số nghịch biến trên R\mathbb{R}.
  4. Đáp án D: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1)\left( { - \infty ;1} \right) và (1;+∞)\left( {1; + \infty } \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Cho hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+dy = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hình minh hoạ

  • Ý a: Hàm số đạt cực tiểu tại x=1x = 1.
  • Ý b: Đồ thị hàm số cắt trục OyOy tại điểm có tọa độ (0;1)\left( {0;1} \right).
  • Ý c: Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1)\left( { - \infty ; - 1} \right).
  • Ý d: 2a+3b+c=92a + 3b + c = 9.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Trong không gian OxyzOxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB=AA′=2,AD=4AB = AA' = 2,AD = 4. Gọi EE là tâm của hình chữ nhật, FF là trung điểm của cạnh AC′AC'. Với hệ tọa độ OxyzOxyz được thiết lập như hình dưới đây.

Hình minh hoạ

  • Ý a: AB→+AD→=2AC→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}.
  • Ý b: AB→+AD→+AA′→=AC′→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}.
  • Ý c: Tọa độ các điểm E(1;2;0);F(1;2;1)E\left( {1;2;0} \right);F\left( {1;2;1} \right) và EF→=(0;0;1)\overrightarrow {EF} = \left( {0;0;1} \right).
  • Ý d: Độ dài của u⃗=2AC→−3AB′→\vec u = 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB'} là 2262\sqrt {26}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 15

1 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Cho hàm số y=x3−3x2+1y = {x^3} - 3{x^2} + 1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng y=ax+by = ax + b. Khi đó tổng 2a+b2a + b bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm
Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông ABCDABCD, cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng aa. Gọi MM và NN lần lượt là trung điểm của ADAD và SDSD. Giá trị của tích vô hướng MN→⋅SC→\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm
Trong góc của một căn phòng hình hộp chữ nhật có treo 2 cái đèn. Chiếc thứ nhất cách mặt đất 2  m2{\rm{\;m}} và cách mỗi bức tường 1  m1{\rm{\;m}}. Chiếc thứ hai cách mặt đất 3  m3{\rm{\;m}} và cách mỗi bức tường 2  m2{\rm{\;m}}. Tính khoảng cách giữa 2 chiếc đèn? (tính theo đơn vị mét, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau:

Tuổi thọ[14;15)\left[ {14;15} \right)[15;16)\left[ {15;16} \right)[16;17)\left[ {16;17} \right)[17;18)\left[ {17;18} \right)[18;19)\left[ {18;19} \right)
Số con hổ13862

Nhóm chứa mốt là [a;b)\left[ {a;b} \right), khoảng biến thiên là RR. Tổng giá trị của a+b+Ra + b + R là bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Phần IV. Tự luận

Câu 19

1 điểm

PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 3.

Có hai xã A,BA,B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA′=500  mAA' = 500{\rm{\;m}}, BB′=600  mBB' = 600{\rm{\;m}} và người ta đo được A′B′=2200  mA'B' = 2200{\rm{\;m}} (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí MM của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A′B′A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí MM là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Khảo sát chiều cao (đơn vị: cm) của học sinh lớp 12A, ta thu được kết quả như sau:

Kết quả đo (cm)[150;155)\left[ {150;155} \right)[155;160)\left[ {155;160} \right)[160;165)\left[ {160;165} \right)[165;170)\left[ {165;170} \right)[170;175)\left[ {170;175} \right)
Số học sinh6101455

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp ABAB trong công trường xây dựng, trên đó thiết lập hệ trục tọa độ OxyzOxyz như hình vẽ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ là 1  m1{\rm{\;m}}. Tìm tọa độ của điểm A,BA,B, tính độ dài sợi dây cáp ABAB.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 12