Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phạm Hồng Thái (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương $\left( + \right)$ sang âm $\left( - \right)$ khi qua điểm $x = 0$.

Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$ và giá trị cực đại của hàm số là .

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm $\left( - \right)$ sang dương $\left( + \right)$ khi qua điểm $x = 2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$ và giá trị cực tiểu là ${y_{CT}} = f\left( 2 \right) = 1$.

Vậy mệnh đề đúng là A.

Chọn A.

Xét phương trình đạo hàm: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{x^2} - x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{e^x} - 1 = 0}\\{{x^2} - x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.$.

Ta thấy $x = 0$ là nghiệm kép (xuất hiện 2 lần từ cả hai nhân tử), do đó qua điểm $x = 0$ thì $f'\left( x \right)$ không đổi dấu.

Nghiệm $x = 1$ là nghiệm đơn, nên qua điểm $x = 1$ thì $f'\left( x \right)$ đổi dấu.

Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị tại $x = 1$.

Chọn A.

Vectơ dịch chuyển của máy bay trong 10 phút đầu tiên từ $A$ đến $B$ là:

$\overrightarrow {AB} = \left( {940 - 800;550 - 500;8 - 7} \right) = \left( {140;50;1} \right)$.

Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, nên trong 5 phút tiếp theo (bằng $\frac{1}{2}$ thời gian ban đầu), vectơ dịch chuyển từ vị trí $B$ đến vị trí mới $C$ sẽ bằng một nửa vectơ $\overrightarrow {AB}$:

$\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{140}}{2};\frac{{50}}{2};\frac{1}{2}} \right) = \left( {70;25;0{,}5} \right)$.

Toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là tọa độ của điểm $C$: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_C} = {x_B} + 70 = 940 + 70 = 1010}\\{{y_C} = {y_B} + 25 = 550 + 25 = 575}\\{{z_C} = {z_B} + 0{,}5 = 8 + 0{,}5 = 8{,}5}\end{array}} \right.$.

Do đó $C\left( {1010;575;8{,}5} \right)$.

Chọn C.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

- Đầu mút trái của nhóm đầu tiên $\left[ {75;80} \right)$ là ${x_{{\rm{min}}}} = 75$.
- Đầu mút phải của nhóm cuối cùng $\left[ {95;100} \right)$ là ${x_{{\rm{max}}}} = 100$.

Khoảng biến thiên $R$ là: $R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 100 - 75 = 25{\rm{\;km/h}}$.

Chọn A.

Ta có tam giác $ADC$ là tam giác đều cạnh $2a$ (do $ABCD$ là tứ diện đều). Do đó, $\widehat {ADC} = 60^\circ$.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {DC}$ được xác định bằng cách đổi hướng vectơ:

$\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Tích vô hướng của hai vectơ:

$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DC} = AD \cdot DC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 2a \cdot 2a \cdot \cos 120^\circ = 4{a^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2{a^2}$.

Chọn B.