TopStudy

Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (Hà Nội) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số bậc ba y=f(x)y = f\left( x \right) có bảng biến thiên như sau:

Hình minh hoạ

Hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

  1. Đáp án A: (−1;+∞)\left( { - 1; + \infty } \right).
  2. Đáp án B: (−5;+∞)\left( { - 5; + \infty } \right).
  3. Đáp án C: (−5;−1)\left( { - 5; - 1} \right).
  4. Đáp án D: (−∞;−1)\left( { - \infty ; - 1} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm f′(x)>0f'\left( x \right) > 0 trên các khoảng (−∞;−5)\left( { - \infty ; - 5} \right) và (−1;+∞)\left( { - 1; + \infty } \right).

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−5)\left( { - \infty ; - 5} \right) và (−1;+∞)\left( { - 1; + \infty } \right).

Đối chiếu với các phương án đưa ra, khoảng (−1;+∞)\left( { - 1; + \infty } \right) là khoảng đồng biến của hàm số.

Chọn A.

Câu 2

1 điểm

Trong kì thi chọn học sinh giỏi của trường THPT X, môn Toán có 25 học sinh tham gia thi. Kết quả điểm bài thi của học sinh được thể hiện trong bảng sau:

Điểm bài thi[10; 12)[12; 14)[14; 16)[16; 18)[18; 20)
Số học sinh46843

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

  1. Đáp án A: 8.
  2. Đáp án B: 18,5.
  3. Đáp án C: 10.
  4. Đáp án D: 10,5.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là RR, được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

- Đầu mút trái của nhóm đầu tiên [10;12)\left[ {10;12} \right) là xmin=10{x_{{\rm{min}}}} = 10.
- Đầu mút phải của nhóm cuối cùng [18;20)\left[ {18;20} \right) là xmax=20{x_{{\rm{max}}}} = 20.

Vậy khoảng biến thiên R=xmax−xmin=20−10=10R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 20 - 10 = 10.

Chọn C.

Câu 3

1 điểm

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?

Hình minh hoạ

  1. Đáp án A: y=−x3+3x+1y = - {x^3} + 3x + 1.
  2. Đáp án B: y=−x3−3x+1y = - {x^3} - 3x + 1.
  3. Đáp án C: y=x3−3x+1y = {x^3} - 3x + 1.
  4. Đáp án D: y=x3+3x+1y = {x^3} + 3x + 1.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

- Xét dạng đồ thị: Nhánh cuối cùng của đồ thị (bên phải) đi lên tiến tới +∞+ \infty khi x→+∞x \to + \infty. Do đó, hệ số a của hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+dy = a{x^3} + b{x^2} + cx + d phải dương (a>0a > 0). Ta loại phương án A và B.
- Xét điểm cực trị: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (hàm số có hai cực trị trái dấu). - Xét hàm số ở phương án C: y=x3−3x+1⇒y′=3x2−3y = {x^3} - 3x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3. Phương trình y′=0⇔x=±1y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 (thỏa mãn có 2 cực trị). - Xét hàm số ở phương án D: y=x3+3x+1⇒y′=3x2+3>0 ∀xy = {x^3} + 3x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0\,\forall x, hàm số không có cực trị.
- Giao điểm với trục tung: Khi x=0x = 0 thì y=1y = 1, đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1)\left( {0;1} \right) phía trên trục hoành, hoàn toàn phù hợp với hình vẽ.

Chọn C.

Câu 4

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm A(1;2;−3)A\left( {1;2; - 3} \right) và điểm B(5;−12;17)B\left( {5; - 12;17} \right). Trung điểm của đoạn thẳng ABAB là điểm có tọa độ:
  1. Đáp án A: (2;−7;10)\left( {2; - 7;10} \right).
  2. Đáp án B: (6;−10;14)\left( {6; - 10;14} \right).
  3. Đáp án C: (3;−5;7)\left( {3; - 5;7} \right).
  4. Đáp án D: (−2;7;−10)\left( { - 2;7; - 10} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Gọi M(xM;yM;zM)M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right) là trung điểm của đoạn thẳng ABAB. Tọa độ điểm MM được xác định bởi công thức:

xM=xA+xB2=1+52=3{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3; yM=yA+yB2=2+(−12)2=−5{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 12} \right)}}{2} = - 5; zM=zA+zB2=−3+172=7{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + 17}}{2} = 7.

Vậy tọa độ trung điểm MM là (3;−5;7)\left( {3; - 5;7} \right).

Chọn C.

Câu 5

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(2;3;2)\vec a = \left( {2;3;2} \right) và b⃗=(1;1;−1)\vec b = \left( {1;1; - 1} \right). Khi đó vectơ a⃗+b⃗\vec a + \vec b có tọa độ là:
  1. Đáp án A: (1;2;3)\left( {1;2;3} \right).
  2. Đáp án B: (3;4;1)\left( {3;4;1} \right).
  3. Đáp án C: (3;5;1)\left( {3;5;1} \right).
  4. Đáp án D: (−1;−2;3)\left( { - 1; - 2;3} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Tọa độ của vectơ tổng a⃗+b⃗\vec a + \vec b được tính bằng cách cộng các tọa độ tương ứng của hai vectơ thành phần:

a⃗+b⃗=(2+1;3+1;2+(−1))=(3;4;1)\vec a + \vec b = \left( {2 + 1;3 + 1;2 + \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {3;4;1} \right).

Chọn B.

Câu 6

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) có đồ thị như hình vẽ.

Hình minh hoạ

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là:

  1. Đáp án A: (1;0)\left( {1;0} \right).
  2. Đáp án B: (−1;0)\left( { - 1;0} \right).
  3. Đáp án C: (2;0)\left( {2;0} \right).
  4. Đáp án D: (1;−4)\left( {1; - 4} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=x2+3x+5x+2y = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x + 2}} là:
  1. Đáp án A: y=x+3y = x + 3.
  2. Đáp án B: y=x+1y = x + 1.
  3. Đáp án C: y=x+2y = x + 2.
  4. Đáp án D: y=xy = x.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Cho hàm số y=2x−1x−2y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình được tô đậm bằng bao nhiêu?

Hình minh hoạ

  1. Đáp án A: 33.
  2. Đáp án B: 74\frac{7}{4}.
  3. Đáp án C: 72\frac{7}{2}.
  4. Đáp án D: 154\frac{{15}}{4}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC với A(1;2;1)A\left( {1;2;1} \right), B(−3;0;3)B\left( { - 3;0;3} \right), C(2;4;−1)C\left( {2;4; - 1} \right). Tìm tọa độ điểm DD sao cho tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.
  1. Đáp án A: D(6;−6;−3)D\left( {6; - 6; - 3} \right).
  2. Đáp án B: D(6;6;3)D\left( {6;6;3} \right).
  3. Đáp án C: D(6;6;−3)D\left( {6;6; - 3} \right).
  4. Đáp án D: D(6;−6;3)D\left( {6; - 6;3} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi MM là trung điểm của đoạn thẳng CC′CC'.

Hình minh hoạ

Đẳng thức nào sau đây là đúng?

  1. Đáp án A: AM→=AB→+AD→+AA′→\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}.
  2. Đáp án B: AM→=12AB→+AD→+AA′→\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}.
  3. Đáp án C: AM→=AB→+12AD→+12AA′→\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}.
  4. Đáp án D: AM→=AB→+AD→+12AA′→\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm
Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán xx chiếc máy xay sinh tố hàng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) có thể đưuọc tính bằng công thức P(x)=−0,3x3+36x2+1800x−48000P\left( x \right) = - 0{,}3{x^3} + 36{x^2} + 1800x - 48000. Để có lợi nhuận lớn nhất công ty cần sản xuất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng?
  1. Đáp án A: 110.
  2. Đáp án B: 90.
  3. Đáp án C: 120.
  4. Đáp án D: 100.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(1;−2;3)\vec a = \left( {1; - 2;3} \right) và b⃗=(−2;1;2)\vec b = \left( { - 2;1;2} \right). Khi đó tích vô hướng (a⃗+b⃗)⋅b⃗\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \vec b bằng:
  1. Đáp án A: 12.
  2. Đáp án B: 10.
  3. Đáp án C: 11.
  4. Đáp án D: 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cô Ngọc thống kê số giờ chơi thể thao trong 1 tuần của học sinh lớp 12B ở bảng sau:

Số giờ[0; 3)[3; 6)[6; 9)[9; 12)
Số học sinh4131617
  • Ý a: Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là n=50n = 50.
  • Ý b: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 9.
  • Ý c: Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm [3;6)\left[ {3;6} \right).
  • Ý d: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là một giá trị lớn hơn 8.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho các điểm A(5;2;1)A\left( {5;2;1} \right), B(9;−2;3)B\left( {9; - 2;3} \right), C(2;1;1)C\left( {2;1;1} \right).
  • Ý a: Hình chiếu của điểm AA lên mặt phẳng (Oyz)\left( {Oyz} \right) có tọa độ là (0;2;1)\left( {0;2;1} \right).
  • Ý b: AB+AC=6+10AB + AC = 6 + \sqrt {10}.
  • Ý c: cos⁡BAC^=21015\cos \widehat {BAC} = \frac{{2\sqrt {10} }}{{15}}.
  • Ý d: Điểm M∈OxM \in Ox thỏa mãn MA→⋅MB→=MA→⋅MC→\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} có hoành độ lớn hơn 5.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm
Cho hàm số f(x)=x3−3x2f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}.
  • Ý a: f′(x)=3x2−6xf'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x.
  • Ý b: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x=0x = 0.
  • Ý c: Giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) trên đoạn [0;4]\left[ {0;4} \right] bằng 16.
  • Ý d: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x)(x−1)(x2−6x+9)y = \frac{{f\left( x \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}} là 1.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm
Một hãng chế tác đồng hồ có quy trình sản xuất tuân theo công thức Q=KLQ = \sqrt {KL} (gọi là công thức Cobb-Douglas), trong đó QQ là số chiếc đồng hồ chế tác ra được, KK là số đơn vị vốn (máy móc, thiết bị), LL là số đơn vị lao động (thợ chế tác) mà hãng đó thuê được. Khi đó biểu thức F=16K+9L+40F = 16K + 9L + 40 mô tả tổng chi phí mà hãng đó phải bỏ ra (đơn vị: nghìn USD). Năm 2025, để kỷ niệm 160 năm thành lập, hãng quyết định chế tác 160 chiếc đồng hồ phiên bản giới hạn toàn cầu.
  • Ý a: L=160KL = \frac{{160}}{K}.
  • Ý b: Khi thuê 200 đơn vị vốn để chế tác 160 chiếc đồng hồ thì tổng chi phí bỏ ra lớn hơn 4500 (nghìn USD).
  • Ý c: F=16K+9⋅1602K+40F = 16K + 9 \cdot \frac{{{{160}^2}}}{K} + 40.
  • Ý d: Tổng chi phí tối thiểu để chế tác 160 chiếc đồng hồ là 3840 (nghìn USD).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. Trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ. Đặt một mô hình đồ chơi tại đỉnh AA, tác động vào mô hình đó bởi các lực F⃗1,F⃗2,F⃗3{\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3} có giá lần lượt nằm trên các cạnh AB,AA′,ADAB,AA',AD và ∣F⃗1∣=2N,∣F⃗2∣=2N,∣F⃗3∣=3N\left| {{{\vec F}_1}} \right| = 2{\rm{N}},\left| {{{\vec F}_2}} \right| = 2{\rm{N}},\left| {{{\vec F}_3}} \right| = 3{\rm{N}}. Hãy xác định độ lớn (N{\rm{N}}) của hợp lực F⃗\vec F tác động lên mô hình đó. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho vectơ AB→=(6;3;0)\overrightarrow {AB} = \left( {6;3;0} \right) và điểm C(1;1;2)C\left( {1;1;2} \right). Biết điểm CC nằm trên đoạn thẳng ABAB thỏa mãn BC=2ACBC = 2AC. Nếu điểm AA có tọa độ là (m;n;p)\left( {m;n;p} \right) thì giá trị của m+3n+4pm + 3n + 4p bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Kết quả khảo sát về độ tuổi kết hôn của 100 người phụ nữ vừa lập gia đình của xã AA được cho ở bảng sau:

Tuổi kết hôn[19; 22)[22; 25)[25; 28)[28; 31)[31; 34)
Số phụ nữ101027273131252577

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Cho đồ thị hàm số y=x2+48x−1y = \frac{{{x^2} + 48}}{{x - 1}} có hai điểm cực trị là A,BA,B như hình vẽ bên. Diện tích hình chữ nhật tô đậm có giá trị bằng bao nhiêu?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Trên một khu đất hình vuông ABCDABCD có độ dài cạnh 200  m200{\rm{\;m}} đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh ABAB, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh CDCD. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120  m120{\rm{\;m}} và chiều rộng 80  m80{\rm{\;m}}. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3  m/s3{\rm{\;m/s}} còn khi đi trên cát là 2  m/s2{\rm{\;m/s}}. Gọi aa là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị 100a100a bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Xét trên đoạn đường thẳng OAOA dài 30  km30{\rm{\;km}}, cùng một lúc, ở AA có một người đi xe đạp đi về OO với vận tốc 15  km/h15{\rm{\;km/h}}, đồng thời tại OO có một chiếc khinh khí cầu bay lên với vận tốc 10  km/h10{\rm{\;km/h}}. Gọi tt (đơn vị: giờ, t≥0t \ge 0) là thời gian kể từ lúc người đi xe đạp và khinh khí cầu bắt đầu di chuyển. Khoảng cách ngắn nhất giữa người đi xe đạp và khinh khí cầu đạt được khi tt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 12