TopStudy

Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Ngoại ngữ - ĐH Ngoại Ngữ (Hà Nội) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x3−3x2−9x+3f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 3 trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right] bằng

  1. Đáp án A: 1.
  2. Đáp án B: −1.
  3. Đáp án C: 8.
  4. Đáp án D: −12.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Tập xác định: D=RD = \mathbb{R}. Hàm số liên tục trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right].

Đạo hàm: f′(x)=3x2−6x−9f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9.

Tìm nghiệm của f′(x)=0f'\left( x \right) = 0 trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right]:

3x2−6x−9=0⇔x2−2x−3=0⇔[x=−1∈[−2;2]x=3∉[−2;2]3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 \in \left[ { - 2;2} \right]}\\{x = 3 \notin \left[ { - 2;2} \right]}\end{array}} \right..

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

f(−2)=(−2)3−3⋅(−2)2−9⋅(−2)+3=−8−12+18+3=1f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 = - 8 - 12 + 18 + 3 = 1;

f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)2−9⋅(−1)+3=−1−3+9+3=8f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 = - 1 - 3 + 9 + 3 = 8;

f(2)=23−3⋅22−9⋅2+3=8−12−18+3=−19f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} - 9 \cdot 2 + 3 = 8 - 12 - 18 + 3 = - 19.

So sánh các giá trị trên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right] là max⁡[−2;2]f(x)=f(−1)=8\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 8.

Chọn C.

Câu 2

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) có bảng biến thiên như sau:

Hình minh hoạ

Hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

  1. Đáp án A: (−2;1)\left( { - 2;1} \right).
  2. Đáp án B: (1;+∞)\left( {1; + \infty } \right).
  3. Đáp án C: (−2;3)\left( { - 2;3} \right).
  4. Đáp án D: (−∞;−2)\left( { - \infty ; - 2} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng (−2;1)\left( { - 2;1} \right), đạo hàm f′(x)>0f'\left( x \right) > 0 (hoặc mũi tên của hàm số f(x)f\left( x \right) đi lên từ −2- 2 đến 33). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (−2;1)\left( { - 2;1} \right).

Chọn A.

Câu 3

1 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ OxyzOxyz, cho a⃗=(1;1;0)\vec a = \left( {1;1;0} \right) và b⃗=(0;−2;2)\vec b = \left( {0; - 2;2} \right). Góc giữa hai vectơ a⃗\vec a và b⃗\vec b bằng:
  1. Đáp án A: 30∘30^\circ.
  2. Đáp án B: 150∘150^\circ.
  3. Đáp án C: 120∘120^\circ.
  4. Đáp án D: 60∘60^\circ.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: cos⁡(a⃗,b⃗)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}.

Tính tích vô hướng: a⃗⋅b⃗=1⋅0+1⋅(−2)+0⋅2=−2\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot 0 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 0 \cdot 2 = - 2.

Tính độ dài các vectơ: ∣a⃗∣=12+12+02=2\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2; ∣b⃗∣=02+(−2)2+22=8=22\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2.

Thay vào công thức: cos⁡(a⃗,b⃗)=−22⋅22=−24=−12\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 }} = \frac{{ - 2}}{4} = - \frac{1}{2}.

Suy ra góc giữa hai vectơ là (a⃗,b⃗)=120∘\left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ.

Chọn C.

Câu 4

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) có đồ thị như hình vẽ.

Hình minh hoạ

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

  1. Đáp án A: −2.
  2. Đáp án B: −1.
  3. Đáp án C: 2.
  4. Đáp án D: 1.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba đã cho, ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là (1;2)\left( {1;2} \right). Do đó, giá trị cực đại (chính là giá trị cực đại của yy) của hàm số bằng 22.

Chọn C.

Câu 5

1 điểm

Cho hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+df\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d (a≠0a \ne 0) có đồ thị như hình vẽ và a,b,c,da,b,c,d là các số thực.

Hình minh hoạ

Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. Đáp án A: a+b+c+d=−2a + b + c + d = - 2.
  2. Đáp án B: a+b+c+d=4a + b + c + d = 4.
  3. Đáp án C: a+b+c+d=2a + b + c + d = 2.
  4. Đáp án D: a+b+c+d=−4a + b + c + d = - 4.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Giá trị của biểu thức a+b+c+da + b + c + d chính là giá trị của hàm số tại x=1x = 1, tức là f(1)f\left( 1 \right).

Quan sát đồ thị hàm số, tại vị trí x=1x = 1, điểm trên đồ thị có tung độ tương ứng là y=2y = 2 (đây cũng chính là điểm cực đại của đồ thị).

Vậy f(1)=a+b+c+d=2f\left( 1 \right) = a + b + c + d = 2.

Chọn C.

Câu 6

1 điểm

Cho hàm số y=ax+bcx+dy = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} (c≠0;ad−bc≠0c \ne 0;ad - bc \ne 0) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hình minh hoạ

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

  1. Đáp án A: x=2x = 2.
  2. Đáp án B: x=−1x = - 1.
  3. Đáp án C: y=−1y = - 1.
  4. Đáp án D: y=2y = 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Họ nguyên hàm của hàm số y=3xy = {3^x} là
  1. Đáp án A: exln⁡3+C\frac{{{e^x}}}{{\ln 3}} + C.
  2. Đáp án B: 3x+C{3^x} + C.
  3. Đáp án C: 3xln⁡3+C{3^x}\ln 3 + C.
  4. Đáp án D: 3xln⁡3+C\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ OxyzOxyz, cho hai điểm M(1;2;−1)M\left( {1;2; - 1} \right) và N(3;−4;−9)N\left( {3; - 4; - 9} \right). Đường thẳng MNMN có phương trình là:
  1. Đáp án A: x+11=y+2−3=z−1−4\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.
  2. Đáp án B: x+11=y+23=z−1−4\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.
  3. Đáp án C: x−11=y−2−3=z+1−4\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}.
  4. Đáp án D: x−11=y−23=z+1−4\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ OxyzOxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(4;9;1)A\left( {4;9;1} \right) và vuông góc với OxOx có phương trình là:
  1. Đáp án A: y−9=0y - 9 = 0.
  2. Đáp án B: x−4=0x - 4 = 0.
  3. Đáp án C: x+y+z−14=0x + y + z - 14 = 0.
  4. Đáp án D: z−1=0z - 1 = 0.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ OxyzOxyz, cho hai điểm M(−3;0;1)M\left( { - 3;0;1} \right) và N(1;2;−1)N\left( {1;2; - 1} \right). Trung điểm của đoạn thẳng MNMN có toạ độ là:
  1. Đáp án A: (−4;−2;2)\left( { - 4; - 2;2} \right).
  2. Đáp án B: (−2;2;0)\left( { - 2;2;0} \right).
  3. Đáp án C: (−2;−1;1)\left( { - 2; - 1;1} \right).
  4. Đáp án D: (−1;1;0)\left( { - 1;1;0} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm
∫sin⁡2xcos⁡xdx\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}}{\rm{d}}x} bằng:
  1. Đáp án A: 2sin⁡x+C2\sin x + C.
  2. Đáp án B: 2cos⁡x+C2\cos x + C.
  3. Đáp án C: −2sin⁡x+C- 2\sin x + C.
  4. Đáp án D: −2cos⁡x+C- 2\cos x + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Chiều cao (đơn vị: centimét) của các học sinh nữ lớp 12A được cho trong bảng sau:

Nhóm[150;155)\left[ {150;155} \right)[155;160)\left[ {155;160} \right)[160;165)\left[ {160;165} \right)[165;170)\left[ {165;170} \right)[170;175)\left[ {170;175} \right)
Số học sinh4171563

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

  1. Đáp án A: 30.
  2. Đáp án B: 17.
  3. Đáp án C: 20.
  4. Đáp án D: 25.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong hai năm liên tiếp, trang trại bác Đạt tiến hành khảo sát cân nặng của 100 quả dưa được chọn ngẫu nhiên để đánh giá vụ thu hoạch dưa năm đó và có được bảng số liệu như sau:

Cân nặng (đơn vị: kg)[1;1,5)\left[ {1;1{,}5} \right)[1,5;2)\left[ {1{,}5;2} \right)[2;2,5)\left[ {2;2{,}5} \right)[2,5;3)\left[ {2{,}5;3} \right)[3;3,5)\left[ {3;3{,}5} \right)[3,5;4)\left[ {3{,}5;4} \right)
Số quả (số liệu năm 2023)102025181512
Số quả (số liệu năm 2024)14202426106
  • Ý a: Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu đều là R=3R = 3.
  • Ý b: Trung vị của mẫu số liệu năm 2023 là Q2=125{Q_2} = \frac{{12}}{5}.
  • Ý c: Trung bình các quả dưa thu hoạch được năm 2024 nặng 2,47 kg.
  • Ý d: Xét theo phương sai, cân nặng các quả dưa thu hoạch được vào năm 2023 đồng đều hơn cân nặng các quả dưa thu hoạch được năm 2024.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm
Cho hàm số y=x2−2x+1x−2y = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}} có đồ thị (C)\left( C \right).
  • Ý a: Đường thẳng x=2x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)\left( C \right).
  • Ý b: Đồ thị (C)\left( C \right) cắt trục tung tại điểm (0;−12)\left( {0; - \frac{1}{2}} \right).
  • Ý c: Gọi x1,x2{x_1},{x_2} là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó x1+x2=−4{x_1} + {x_2} = - 4.
  • Ý d: Điểm I(2;1)I\left( {2;1} \right) là tâm đối xứng của đồ thị (C)\left( C \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm
Một công ty ước tính rằng nếu sản xuất xx đơn vị sản phẩm (0≤x≤240 \le x \le 24) thì sẽ có doanh thu biên R′(x)=278−2xR'\left( x \right) = 278 - 2x USD và chi phí biên C′(x)=65x2−2x+8C'\left( x \right) = \frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8 USD. Các hàm doanh thu biên và chi phí biên lần lượt là đạo hàm của hàm doanh thu R(x)R\left( x \right) và hàm chi phí C(x)C\left( x \right), dùng để biểu diễn tốc độ thay đổi của doanh thu và chi phí theo số lượng đơn vị sản phẩm.
  • Ý a: Lợi nhuận của công ty đó khi sản xuất xx sản phẩm là P(x)=R(x)−C(x)P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right).
  • Ý b: Biết rằng doanh thu của công ty khi sản xuất 5 sản phẩm là 1465 USD, khi đó R(x)=278x−x2+95R\left( x \right) = 278x - {x^2} + 95.
  • Ý c: Biết rằng chi phí của công ty khi sản xuất 5 sản phẩm là 900 USD, khi đó C(x)=25x3−x2+8x+835C\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^3} - {x^2} + 8x + 835.
  • Ý d: Công ty đạt lợi nhuận lớn nhất là 1960 USD.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Trận chung kết giải cầu lông phong trào do câu lạc bộ CNN Power Shot tổ chức là cuộc so tài giữa hai bạn Gia Linh và Gia Bảo. Do sơ suẩn, Linh đỡ cầu nảy lên cao, tạo điều kiện cho Bảo có cơ hội thực hiện một cú “smash”. Gắn hệ trục tọa độ OxyzOxyz vào sân cầu như trong hình vẽ, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 mét, tại thời điểm Bảo đập cầu, ta thấy quả cầu bắt đầu chuyển động từ điểm A(12;2;52)A\left( {12;2;\frac{5}{2}} \right), chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương u⃗=(112;−1;1)\vec u = \left( {\frac{{11}}{2}; - 1;1} \right).

Hình minh hoạ

  • Ý a: Tại thời điểm Bảo thực hiện cú đập cầu, quả cầu đang ở độ cao 2 mét tính từ mặt đất.
  • Ý b: Biết rằng sân cầu lông trong giải đấu có chiều dài 13 mét và lưới cầu nằm trên một mặt phẳng vuông góc với sân, chia sân theo chiều dài thành hai nửa bằng nhau như trong hình vẽ. Phương trình mặt phẳng chứa lưới cầu là x=132x = \frac{{13}}{2}.
  • Ý c: Biết vectơ vận tốc v⃗\vec v của quả cầu ngược hướng với u⃗\vec u và có độ lớn là 129\sqrt {129} m/s, ta có v⃗=(−11;2;−2)\vec v = \left( { - 11;2; - 2} \right).
  • Ý d: Biết rằng lưới cầu được căng ra thành một hình chữ nhật có chiều rộng 0,8 mét, mép dưới của lưới cách mặt đất 0,75 mét, quả cầu đã bị lưới chặn lại trên đường bay.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một khay nước có nhiệt độ ban đầu A0{A_0} (đơn vị °C) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Người ta thấy rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ của nước trong khay phụ thuộc vào nhiệt độ ban đầu A0{A_0} và thời gian để khay nước trong tủ, biểu diễn dưới dạng hàm số f′(t)=A0⋅(45)t⋅ln⁡45f'\left( t \right) = {A_0} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} \cdot \ln \frac{4}{5} với t là thời gian để trong tủ lạnh theo đơn vị giờ. Biết rằng sau 2 giờ và 3 giờ, người ta lấy khay ra và đo được nhiệt độ nước trong khay lần lượt là 25,6∘25{,}6^\circC và 20,48∘20{,}48^\circC. Tính nhiệt độ ban đầu A0{A_0} theo đơn vị °C.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Một trạm kiểm soát không lưu XX nhận tín hiệu hai máy bay đang di chuyển. Khi gắn hệ trục tọa độ OxyzOxyz với gốc tọa độ OO tại trạm kiểm soát, mặt phẳng (Oxy)\left( {Oxy} \right) ứng với mặt đất, trục cao OzOz hướng lên trên, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 km, tại một thời điểm, người ta quan sát thấy máy bay thứ nhất đang ở điểm A(100;150;10)A\left( {100;150;10} \right), bay theo hướng vectơ u1→=(3;−4;0)\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4;0} \right) với vận tốc không đổi 800800 km/h. Cùng thời điểm đó, máy bay thứ hai đang ở điểm B(−100;100;11)B\left( { - 100;100;11} \right), bay theo hướng vectơ u2→=(4;3;0)\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;3;0} \right) với vận tốc không đổi 750750 km/h. Biết rằng sau TT phút kể từ thời điểm quan sát, khoảng cách hai máy bay đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm TT (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm
Trong không gian tọa độ OxyzOxyz, cho đường thẳng (d):x+22=y−12=z1\left( d \right):\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1} và mặt phẳng (P):x+y+z+6=0\left( P \right):x + y + z + 6 = 0. Gọi giao điểm của đường thẳng dd và mặt phẳng (P)\left( P \right) là MM. Gọi Δ{\rm{\Delta }} là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)\left( P \right), đi qua MM và vuông góc với đường thẳng dd. Biết Δ{\rm{\Delta }} đi qua điểm N(2;b;c)N\left( {2;b;c} \right), tính tích T=b⋅cT = b \cdot c.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)=ax+bcx+dy = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} (với c≠0; ad−bc≠0c \ne 0;\,ad - bc \ne 0) có đồ thị là đường cong (C)\left( C \right) trong hình vẽ. Biết rằng (C)\left( C \right) đi qua điểm A(0;1)A\left( {0;1} \right), tính f′(0)f'\left( 0 \right).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm
Trong không gian tọa độ OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(3;−2;3)A\left( {3; - 2;3} \right), B(3;5;−4)B\left( {3;5; - 4} \right) và C(1;1;−2)C\left( {1;1; - 2} \right). Gọi MM là trung điểm BCBC. Góc AMBAMB bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Một hãng ô tô A đưa sản phẩm ô tô thể thao của họ ra chạy thử trước khi mở bán. Tại thời điểm ban đầu t=0t = 0, chiếc xe đứng yên. Sau đó chiếc xe nổ máy và tăng tốc rất nhanh. Sử dụng máy bắn tốc độ, người ta đo được tốc độ tức thời của chiếc xe tại các thời điểm 1 giây, 2 giây và 3 giây cho trong bảng sau:

tt (đơn vị giây)123
v(t)v\left( t \right) (đơn vị m/s)61626

Biết rằng tốc độ tức thời của chiếc xe đó (đơn vị mét/giây) trong 5 giây đầu tiên kể từ khi xuất phát được biểu diễn bởi hàm số bậc ba v(t)=at3+bt2+ct+dv\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d với a,b,c,da,b,c,d là các số thực và a≠0a \ne 0. Hỏi tại thời điểm 5 giây, tốc độ của xe theo đơn vị mét/giây là bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 12