Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP.HCM) có đáp án

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $R$, là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Dựa vào bảng số liệu, nhóm đầu tiên là $\left[ {80;82} \right)$ nên đầu mút trái là ${x_{{\rm{min}}}} = 80$. Nhóm cuối cùng là nên đầu mút phải là ${x_{{\rm{max}}}} = 90$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 90 - 80 = 10{\rm{\;(gam)}}$.

Chọn D.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

Ta tính đạo hàm của hàm số: $y' = 3{x^2} - 6x$.

Xét phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

Ta xét dấu $y'$:

- Trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến.
- Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến.

Chọn C.

Trước hết, ta xác định giá trị đại diện ${x_i}$ của từng nhóm số liệu bằng cách lấy trung bình cộng hai đầu mút:

- Nhóm $\left[ {44;46} \right)$ có giá trị đại diện ${x_1} = 45$, tần số ${n_1} = 3$.
- Nhóm $\left[ {46;48} \right)$ có giá trị đại diện ${x_2} = 47$, tần số ${n_2} = 3$.
- Nhóm $\left[ {48;50} \right)$ có giá trị đại diện ${x_3} = 49$, tần số ${n_3} = 10$.
- Nhóm $\left[ {50;52} \right)$ có giá trị đại diện ${x_4} = 51$, tần số ${n_4} = 15$.
- Nhóm $\left[ {52;54} \right)$ có giá trị đại diện ${x_5} = 53$, tần số ${n_5} = 7$.
- Nhóm $\left[ {54;56} \right)$ có giá trị đại diện ${x_6} = 55$, tần số ${n_6} = 2$.

Tổng số trẻ thu thập được là $N = 3 + 3 + 10 + 15 + 7 + 2 = 40$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar x = \frac{{3 \cdot 45 + 3 \cdot 47 + 10 \cdot 49 + 15 \cdot 51 + 7 \cdot 53 + 2 \cdot 55}}{{40}} = \frac{{2012}}{{40}} = 50{,}3{\rm{\;(cm)}}$.

Phương sai của mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{{3{{\left( {45 - 50{,}3} \right)}^2} + 3{{\left( {47 - 50{,}3} \right)}^2} + 10{{\left( {49 - 50{,}3} \right)}^2} + 15{{\left( {51 - 50{,}3} \right)}^2} + 7{{\left( {53 - 50{,}3} \right)}^2} + 2{{\left( {55 - 50{,}3} \right)}^2}}}{{40}}$$= \frac{{236{,}4}}{{40}} = 5{,}91$.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {5{,}91} \approx 2{,}43{\rm{\;(cm)}}$.

Chọn A.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên đoạn $\left[ { - 4;1} \right]$.

Đạo hàm của hàm số: $f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 12x - 9$.

Xét phương trình đạo hàm bằng 0: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 \in \left[ { - 4;1} \right]}\\{x = - 3 \in \left[ { - 4;1} \right]}\end{array}} \right.$.

Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút đoạn:

$f\left( { - 4} \right) = - {\left( { - 4} \right)^3} - 6 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 4} \right) - 1 = 64 - 96 + 36 - 1 = 3$;

$f\left( { - 3} \right) = - {\left( { - 3} \right)^3} - 6 \cdot {\left( { - 3} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 3} \right) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = - 1$;

$f\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$;

$f\left( 1 \right) = - {1^3} - 6 \cdot {1^2} - 9 \cdot 1 - 1 = - 1 - 6 - 9 - 1 = - 17$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 4;1} \right]$ bằng $3$ (đạt được tại $x = - 4$ và $x = - 1$).

Chọn D.

Để tìm phương trình đường tiệm cận xiên dưới dạng $y = ax + b$, ta tính các hệ số bằng giới hạn:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2} + 5x - 2}}{{x\left( { - 3x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2} + 5x - 2}}{{ - 3{x^2} + 4x}} = - \frac{4}{3}$.

Tiếp tục tính hệ số $b$:

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{4{x^2} + 5x - 2}}{{ - 3x + 4}} + \frac{4}{3}x} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3\left( {4{x^2} + 5x - 2} \right) + 4x\left( { - 3x + 4} \right)}}{{3\left( { - 3x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{12{x^2} + 15x - 6 - 12{x^2} + 16x}}{{ - 9x + 12}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{31x - 6}}{{ - 9x + 12}} = - \frac{{31}}{9}$.

Vậy phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = - \frac{4}{3}x - \frac{{31}}{9}.$

Chọn C.