Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 6)

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Với a, b là các số thực tuỳ ý lớn hơn 1 thoả mãn ${\log _a}2 \le {\log _b}2.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án A: $a \ge b.$
Đáp án B: $a \le b.$
Đáp án C: $a < b.$
Đáp án D: $a > b.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có

{\log _a}2 \le {\log _b}2 \Rightarrow a \ge b.

Chọn A.

Câu 2

0,25 điểm

Gọi

S

là tập nghiệm của phương trình

{9^x} - 10 \cdot {3^x} + 9 = 0.

Tổng các phần tử của

S

bằng

Đáp án A: 1.
Đáp án B: 2.
Đáp án C: 10.
Đáp án D: $\frac{{10}}{3}.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Ta có ${9^x} - 10 \cdot {3^x} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{3^x} = 1}\\{{3^x} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.$ $\Rightarrow S = \left\{ {0\,;2} \right\}$ .

Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng 2. Chọn B.

Câu 3

0,25 điểm

Giả sử

f\left( x \right)

là hàm liên tục trên

\mathbb{R}

và các số thực

a,b,c

thoả mãn

a < b < c

. Mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án A: $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án B: $\int\limits_a^b {cf\left( x \right){\rm{d}}x} = - c\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Dựa vào tính chất $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ và $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ .

Suy ra đáp án A sai. Chọn A.

Câu 4

0,25 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như bên dưới.

Hình minh hoạ

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

Đáp án A: $x = 1.$
Đáp án B: $x = - 2.$
Đáp án C: $x = 3.$
Đáp án D: $x = 4.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = - 2

và đạt cực đại tại

x = 3.

Chọn C.

Câu 5

0,25 điểm

Kết quả đo chiều cao của 100 cây dừa trồng sau 10 năm tại một vườn trái cây ở Bến Tre cho ở bảng sau:

Chiều cao $({\rm{m}})$	$\left[ {8{,}4;8{,}6} \right)$	$\left[ {8{,}6;8{,}8} \right)$	$\left[ {8{,}8;9{,}0} \right)$	$\left[ {9{,}0;9{,}2} \right)$	$\left[ {9{,}2;9{,}4} \right)$
Số cây	5	12	25	44	14

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào dưới đây nhất?

Đáp án A: 0,5.
Đáp án B: 0,2.
Đáp án C: 0,4.
Đáp án D: 0,3.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Cỡ mẫu $n = 5 + 12 + 25 + 44 + 14 = 100.$

Gọi ${x_1};\,\,{x_2};\, \ldots ;\,\,{x_{100}}$ là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}, \ldots ,{x_5} \in \left[ {8{,}4;8{,}6} \right);\,\,{x_6}, \ldots ,{x_{17}} \in \left[ {8{,}6\,;\,8{,}8} \right);\,\,{x_{18}}, \ldots ,{x_{42}} \in \left[ {8{,}8\,;\,9{,}0} \right);$

${x_{43}}, \ldots ,{x_{86}} \in \left[ {9{,}0\,;\,9{,}2} \right);\,\,{x_{87}}, \ldots ,{x_{100}} \in \left[ {9{,}2\,;\,9{,}4} \right)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in \left[ {8{,}8\,;\,9{,}0} \right)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 8{,}8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 17}}{{25}}\left( {9{,}0 - 8{,}8} \right) = 8{,}864$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {9{,}0\,;9{,}2} \right)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 9{,}0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 42}}{{44}}\left( {9{,}2 - 9{,}0} \right) = 9{,}15$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = 9{,}15 - 8{,}864 = 0{,}286 \approx 0{,}3$ . Chọn D.

Câu 6

0,25 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

với số hạng tổng quát

{u_n} = {3^{2n}}(n \ge 2).

Công bội của cấp số nhân đã cho là

Đáp án A: $q = 9.$
Đáp án B: $q = 2.$
Đáp án C: $q = 3.$
Đáp án D: $q = 6.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Cho

F\left( x \right),\,\,G\left( x \right)

là các nguyên hàm của hàm số

f\left( x \right)

trên

\mathbb{R}.

Biết

F\left( x \right) = {2^x} \cdot \cos x

và

G\left( 0 \right) = 2.

Khi đó

F\left( 0 \right) - G\left( {\frac{\pi }{2}} \right)

bằng

Đáp án A: 1.
Đáp án B: 0.
Đáp án C: 2.
Đáp án D: $- 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f\left( x \right) = {e^{4x + 3}}

là

Đáp án A: ${e^{4x + 3}} + C.$
Đáp án B: $4{e^{4x + 3}} + C.$
Đáp án C: $\left( {4x + 3} \right){e^{4x + 2}}.$
Đáp án D: $\frac{1}{4}{e^{4x + 3}} + C.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Đường cong ở hình vẽ là đồ thị của hàm số

Hình minh hoạ

Đáp án A: $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 2.$
Đáp án B: $y = - {x^3} - 4{x^2} - x + 2.$
Đáp án C: $y = {x^3} + 3{x^2} - 4x + 2.$
Đáp án D: $y = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho mặt phẳng

\left( P \right):2x + 3y + 2 = 0.

Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

\left( P \right)

Đáp án A: $\vec n = \left( { - 2; - 3;1} \right).$
Đáp án B: $\vec n = \left( { - 2; - 3;0} \right).$
Đáp án C: $\vec n = \left( {2;3;1} \right).$
Đáp án D: $\vec n = \left( {2;3;2} \right).$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Biết

\int\limits_1^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3}

, giá trị

\int\limits_1^8 {5f\left( x \right){\rm{d}}x}

bằng

Đáp án A: 3.
Đáp án B: 8.
Đáp án C: 15.
Đáp án D: 6.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

I\left( {1; - 2;3} \right)

. Mặt cầu tâm

I

, tiếp xúc với trục

Oy

có phương trình là

Đáp án A: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 8.$
Đáp án B: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.$
Đáp án C: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10.$
Đáp án D: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong một số trường hợp, tin đồn lan truyền và được mô hình hoá bằng hàm số: $p\left( t \right) = \frac{1}{{1 + a \cdot {e^{ - kt}}}}$ , trong đó $p\left( t \right)$ là tỉ lệ dân số biết tin đồn tại thời điểm t (giờ) và a, k là hằng số dương. Giả sử $a = 10$ và $k = 0{,}5$ .

Ý a: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } p\left( t \right) = 1$ .
Ý b: Tốc độ lan truyền tin đồn là $p'\left( t \right) = \frac{{10{e^{ - 0{,}5t}}}}{{{{\left( {1 + 10{e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^2}}}$ .
Ý c: Tốc độ lan truyền tin đồn lớn nhất sau 9,2 giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ý d: Tại thời điểm tin đồn lan truyền với tốc độ lớn nhất thì có 50% dân số biết tin đồn (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Một chiếc điện thoại Iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S\left( {0;0;20} \right)$ và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A\left( {0; - 6;0} \right),B\left( {3\sqrt 3 ;3;0} \right)$ , $C\left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right)$ (đơn vị centimét). Cho biết điện thoại có trọng lượng là 2 N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ có độ lớn bằng nhau và đo bằng đơn vị Newton (N).

Hình minh hoạ

Ý a: $\overrightarrow {SA} = \left( {0; - 6; - 20} \right)$ .
Ý b: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec F\left( {0\,;0\,;2} \right)$ .
Ý c: ${\vec F_1} = \frac{1}{{20}}\overrightarrow {SA}$ .
Ý d: Biết tọa độ của lực ${\vec F_1} = \left( {a\,;b\,;c} \right)$ , khi đó $T = 2a + 5b + 6c = - 5.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho hai biến cố

A

và

B

với xác suất

P\left( A \right) = 0{,}6;\,\,P\left( {\bar B} \right) = 0{,}2\,;\,\,P\left( {AB} \right) = 0{,}42

Ý a: $P\left( B \right) = 0{,}8$ .
Ý b: $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
Ý c: $P\left( {\bar AB} \right) = 0{,}48$ .
Ý d: $P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0{,}95$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một chất điểm chuyển động trong 3 giây với vận tốc $v\left( t \right) = a\cos \left( {\pi t} \right) + b$ (mét/giây) (trong đó, $t\left( s \right)$ là biến thời gian; $a,b$ là các hằng số) có đồ thị là một đường hình sin như hình dưới đây:

Hình minh hoạ

Ý a: Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2$ giây là $10\;{\rm{m/s}}.$
Ý b: Giá trị của $a$ là 5.
Ý c: Giá trị của $b$ là 10.
Ý d: Tổng quãng đường vật đi được sau 3 giây là $27{,}93\;{\rm{m}}.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tổng số tam giác của hình bên dưới là bao nhiêu?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $\left( R \right)$ (phần được tô đậm trong hình vẽ) quanh trục $AB$ . Miền $\left( R \right)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng 1 cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,AB$ . Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét khối.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Vắc xin AstraZeneca (AZD1222) được Tổ chức Y tế Thế giới (WHO) cấp phép sử dụng khẩn cấp giúp ngăn ngừa các triệu chứng nghiêm trọng và giảm tử vong do COVID-19. Vắc xin này được tiêm ở tỉnh X, thống kê cho thấy rằng: Với người có bệnh nền thì xác suất xảy ra phản ứng phụ sau tiêm là 28%, với người không có bệnh nền thì xác suất xảy ra phản ứng phụ sau tiêm là 17%. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm và thấy người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này bị bệnh nền. Biết tỷ lệ người có bệnh nền ở tỉnh X là 12% (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Tại sân vận động Quốc Gia Mỹ Đình có kích thước chiều dài là 100 m và chiều rộng là 70 m. Khung thành được đặt chính giữa với chiều rộng là 8 m. Cầu thủ Quang Hải muốn đá vào khung thành với quả bóng đặt ở điểm A cách đường biên dọc một khoảng bằng 20 m.

Hình minh hoạ

Tìm khoảng cách $h\,\,{\rm{(m)}}$ từ vị trí đặt bóng A đến đường biên ngang để góc sút $\alpha$ (xem hình vẽ) của Quang Hải là lớn nhất. Giả sử sân bóng phẳng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Cấu trúc tổ ong là một cấu trúc đặc biệt, mỗi lỗ ong là một lăng kính hình lục giác, một đầu hở còn một đầu tạo thành một góc tam diện. Ong đã xây các lỗ này với một cách làm tối ưu về diện tích bề mặt (đã sử dụng lượng sáp ong ít nhất để xây tổ). Người ta đã quan sát, nghiên cứu thì thấy rằng góc $\theta \,({\rm{rad}})$ ở đỉnh nhất quán một cách đáng kinh ngạc, dựa trên cấu trúc hình học của lỗ ong người ta đã chứng minh được diện tích bề mặt $S$ của lỗ ong là $S = 6s \cdot h - \frac{3}{2}{s^2} \cdot \cot \theta + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{s^2} \cdot \frac{1}{{\sin \theta }}$ ( $s$ là chiều dài các cạnh của lỗ ong, h là chiều cao, $s$ và h đều là hằng số). Vậy để tối thiểu hoá diện tích bề mặt con ong đã xây một góc $\theta$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).