Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 6)

Ta có ${9^x} - 10 \cdot {3^x} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{3^x} = 1}\\{{3^x} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.$$\Rightarrow S = \left\{ {0\,;2} \right\}$.

Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng 2. Chọn B.

Dựa vào tính chất $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ và $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Suy ra đáp án A sai. Chọn A.

Cỡ mẫu $n = 5 + 12 + 25 + 44 + 14 = 100.$

Gọi ${x_1};\,\,{x_2};\, \ldots ;\,\,{x_{100}}$ là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}, \ldots ,{x_5} \in \left[ {8{,}4;8{,}6} \right);\,\,{x_6}, \ldots ,{x_{17}} \in \left[ {8{,}6\,;\,8{,}8} \right);\,\,{x_{18}}, \ldots ,{x_{42}} \in \left[ {8{,}8\,;\,9{,}0} \right);$

${x_{43}}, \ldots ,{x_{86}} \in \left[ {9{,}0\,;\,9{,}2} \right);\,\,{x_{87}}, \ldots ,{x_{100}} \in \left[ {9{,}2\,;\,9{,}4} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in \left[ {8{,}8\,;\,9{,}0} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 8{,}8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 17}}{{25}}\left( {9{,}0 - 8{,}8} \right) = 8{,}864$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {9{,}0\,;9{,}2} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 9{,}0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 42}}{{44}}\left( {9{,}2 - 9{,}0} \right) = 9{,}15$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = 9{,}15 - 8{,}864 = 0{,}286 \approx 0{,}3$. Chọn D.

Vì $F\left( x \right),\,\,G\left( x \right)$ là các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên $F\left( x \right) = G\left( x \right) + C$.

Ta có $F\left( 0 \right) = G\left( 0 \right) + C \Rightarrow 1 = 2 + C \Rightarrow C = - 1$$\Rightarrow G\left( x \right) = F\left( x \right) + 1 = {2^x}\cos x + 1 \Rightarrow G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

Suy ra $F\left( 0 \right) - G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 - 1 = 0$. Chọn B.

Dựa vào đáp án, ta suy ra hàm số là đường: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+) Hệ số $a > 0$ suy ra loại B.

+) Đồ thị đi qua điểm $( - 2; - 2)$ suy ra loại A.

+) Đồ thị đi qua điểm $( - 1;0)$ suy ra loại C. Chọn D.

Gọi $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên trục $Oy$. Khi đó $M\left( {0; - 2;0} \right)$.

Vì mặt cầu tâm $I$, tiếp xúc với trục $Oy$ nên $R = IM = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10}$.

Do đó mặt cầu tâm $I$ có dạng: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10$. Chọn C.

a) Đúng. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } p\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{1}{{1 + a \cdot {e^{ - kt}}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1$.

b) Sai. Tốc độ lan truyền tin đồn là:

$p'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + a \cdot {e^{ - kt}}}}} \right)^\prime } = \frac{{k \cdot a \cdot {e^{ - kt}}}}{{{{\left( {1 + a \cdot {e^{ - kt}}} \right)}^2}}} = \frac{{10 \cdot 0{,}5 \cdot {e^{ - 0{,}5t}}}}{{{{\left( {1 + 10 \cdot {e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^2}}}$$= \frac{{5 \cdot {e^{ - 0{,}5t}}}}{{{{\left( {1 + 10 \cdot {e^{ - 0{,}5t}}} \right)}^2}}}$.

c) Sai. Đặt $a = 10 \cdot {e^{ - 0{,}5t}}$, khi đó

$p'\left( t \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{{\left( {1 + a} \right)}^2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{a^2} + 2a + 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{a + 2 + \frac{1}{a}}}$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(a+\frac{1}{a})+2}\le \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}+2}(\text{BÐT Cauchy})=\frac{1}{8}$ .

Dấu bằng xảy ra khi: $a = 1 \Leftrightarrow 10 \cdot {e^{ - 0{,}5t}} = 1 \Leftrightarrow {e^{ - 0{,}5t}} = \frac{1}{{10}}$

$\Leftrightarrow - 0{,}5t = \ln \frac{1}{{10}} = - \ln 10 \Leftrightarrow t = 2\ln 10 \approx 4{,}6$ giờ.

d) Đúng. Tại thời điểm tin đồn lan truyền với tốc độ lớn nhất thì tỉ lệ dân số biết tin đồn là

$p\left( {2\ln 10} \right) = \frac{1}{2} = 50\%$.

a) Đúng. Ta có: $S\left( {0\,;0\,;20} \right),A\left( {0\,; - 6\,;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SA} = \left( {0\,; - 6\,; - 20} \right)$.

b) Sai. Gọi $\overrightarrow F$ là trọng lực tác dụng lên điện thoại $\Rightarrow \vec F = \left( {0\,;0\,; - 2} \right)$.

Điện thoại có trọng lượng là 2N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec F\left( {0\,;0\,; - 2} \right)$.

c) Sai. Ta có:

$\overrightarrow {{F_1}} = a \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {0\,; - 6a\,; - 20a} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 2\sqrt {109} a$

$\overrightarrow {{F_2}} = b \cdot \overrightarrow {SB} = \left( {3\sqrt 3 b\,;3b\,; - 20b} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt {109} b$

$\overrightarrow {{F_3}} = c \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - 3\sqrt 3 c\,;3c\,; - 20c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2\sqrt {109} c$

Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ có độ lớn bằng nhau nên $a = b = c.$

$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec F\left( {0\,;0\,; - 2} \right) \Leftrightarrow - 20a - 20a - 20a = - 2$$\Leftrightarrow a = \frac{1}{{30}} \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} = \frac{1}{{30}} \cdot \overrightarrow {SA}$.

d) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} = \frac{1}{{30}} \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {0; - \frac{1}{5}; - \frac{2}{3}} \right)$$\Rightarrow a = 0,b = - \frac{1}{5},c = - \frac{2}{3} \Rightarrow 2a + 5b + 6c = - 5$.

a) Đúng. Ta có $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\bar B} \right) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

b) Sai. Ta có $P\left( {AB} \right) = 0{,}42 \ne P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0{,}48$ nên hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.

c) Sai. Ta có $P\left( B \right) = P\left( {\bar AB} \right) + P\left( {AB} \right)$$\Rightarrow P\left( {\bar AB} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}8 - 0{,}42 = 0{,}38$.

d) Đúng. Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có

$P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{{P\left( {\bar AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}}$$= \frac{{P\left( {\bar AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}38}}{{0{,}4}} = 0{,}95$.

a) Đúng. Dựa vào hình vẽ, ta thấy vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2$ giây là $10\;{\rm{m/s}}.$

b) Đúng. Quan sát hình vẽ, ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v\left( 1 \right) = 0}\\{v\left( 2 \right) = 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a\cos \pi + b = 0}\\{a\cos 2\pi + b = 10}\end{array}} \right.} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - a + b = 0}\\{a + b = 10}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 5} \right.$.

Suy ra $v\left( t \right) = 5\cos \left( {\pi t} \right) + 5$.

c) Sai. Giá trị của $b$ là 5.

d) Sai. Ta có quãng đường vật đi được sau 3 giây là $s\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)\,} {\rm{d}}t$$= \int\limits_0^3 {\left[ {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right]} \,{\rm{d}}t = 15$.

Đáp án: 27.

Số tam giác có cạnh 4 đơn vị là 1.

Số tam giác có cạnh 3 đơn vị là 3.

Số tam giác có cạnh 2 đơn vị là 7.

Số tam giác có cạnh 1 đơn vị là 16.

Tổng có tất cả $1 + 3 + 7 + 16 = 27$ tam giác.

Đáp án: 12,3.

Chọn trục $Ox$ chứa điểm $B$, trục $Oy$ chứa điểm $D$, và gốc tọa độ $O$ trùng điểm $A$ như hình vẽ.

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,AB$.

Khi đó $E\left( {0\,;1} \right),F\left( {1\,;0} \right)$.

Phương trình đường tròn có tâm $E\left( {0\,;1} \right)$ và đường kính $AD = 2$ là: ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$.

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm $E$ là: $y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}$.

Phương trình đường tròn có tâm $F\left( {1\,;0} \right)$ và đường kính $AB = 2$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$.

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm $F$ là: $y = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}$.

Vậy, thể tích vật trang trí là: $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_1^2 {\left[ {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]} \,{\rm{d}}x$$\approx 12{,}3\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})$.

Đáp án: 0,18.

Gọi $A$ là biến cố: “Người tiêm vắc xin có bệnh nền”.

Và $B$ là biến cố: “Xảy ra phản ứng phụ sau tiêm”.

Ta có $P\left( A \right) = 0{,}12 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}88$; $P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}28\,;\,\,P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0{,}17$.

Xác suất người này có phản ứng phụ là

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right)$$= 0{,}12 \cdot 0{,}28 + 0{,}88 \cdot 0{,}17 = 0{,}1832.$

Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất người này có bệnh nền khi biết người này có phản ứng phụ là $P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}12 \cdot 0{,}28}}{{0{,}1832}} \approx 0{,}18$.

Đáp án: 14,5.

Ta có $\alpha = \widehat {DAC}$ và ${\alpha _{\max }} \Rightarrow {\left( {\tan \alpha } \right)_{\max }}$.

$OM = \frac{{70}}{2} = 35{\rm{m}} \Rightarrow MB + BD + DO = 35$$\Rightarrow BD = 35 - MB - DO \Rightarrow BD = 35 - 20 - 4 = 11\;\,\,{\rm{(m)}}$.

$\tan \alpha = \tan \widehat {DAC} = \tan \left( {\widehat {BAC} - \widehat {BAD}} \right)$$= \frac{{\tan \widehat {BAC} - \tan \widehat {BAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAC} \cdot \tan \widehat {BAD}}} = \frac{{\frac{{BC}}{{BA}} - \frac{{BD}}{{BA}}}}{{1 + \frac{{BC}}{{BA}} \cdot \frac{{BD}}{{BA}}}} = \frac{{\frac{{19}}{h} - \frac{{11}}{h}}}{{1 + \frac{{19}}{h} \cdot \frac{{11}}{h}}}$

$= \frac{{\frac{8}{h}}}{{1 + \frac{{209}}{{{h^2}}}}} = \frac{{8h}}{{209 + {h^2}}} = \frac{8}{{\frac{{209}}{h} + h}} \le \frac{8}{{2\sqrt {\frac{{209}}{h}} \cdot h}} = \frac{{4\sqrt {209} }}{{209}}.$

Dấu bằng xảy ra khi $h = \frac{{209}}{h} \Leftrightarrow h = \sqrt {209} \approx 14{,}5$.

Đáp án: 0,96.

Ta có $\theta \in \left( {0;\pi } \right)$.

$S'\left( \theta \right) = \frac{3}{2}{s^2} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }} - 3{s^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\cos \theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}$$= \frac{3}{2}{s^2} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }}\left( {1 - \sqrt 3 \cos \theta } \right) = 0$$\Leftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \theta \approx 0{,}96$.

Bảng biến thiên $S\left( \theta \right)$ như sau:

Vậy ${S_{\min }} = 6s\left( {h + \frac{{\sqrt 2 }}{4}s} \right)$ khi $\theta = 0{,}96.$

Đáp án: 5.

Gọi $B\left( {2t\,;2t\,;2t} \right) \in d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$, $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right) \in \left( P \right):2x + y - z - 2 = 0$.

Ta có: $\overrightarrow {BM} = \left( {2 - 2t\,; - 2t;\,4 - 2t} \right),\overrightarrow {MC} = \left( {{x_C} - 2;{y_C};{z_C} - 4} \right)$.

Tam giác $ABC$ có đường phân giác trong AM với $M \in BC$$\Rightarrow \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BM}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} - 2 = \frac{1}{2}\left( {2 - 2t} \right) = 1 - t}\\{{y_C} = \frac{1}{2}\left( { - 2t} \right) = - t}\\{{z_C} - 4 = \frac{1}{2}\left( {4 - 2t} \right) = 2 - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} = 3 - t}\\{{y_C} = - t}\\{{z_C} = 6 - t}\end{array}} \right.} \right.$$\Rightarrow C\left( {3 - t; - t;6 - t} \right)$.

Ta có $C\left( {3 - t; - t;6 - t} \right) \in \left( P \right):2x + y - z - 2 = 0$

$\Rightarrow 2\left( {3 - t} \right) - t - \left( {6 - t} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow - 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$.

Khi đó $B\left( { - 2; - 2; - 2} \right),C\left( {4\,;1\,;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {6\,;3\,;\,9} \right)$$\Rightarrow {\vec u_{BC}} = \left( {2\,;1\,;3} \right) \Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 5$.