TopStudy

Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 5)

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

  1. Đáp án A: y=x2−3x−2.y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}.
  2. Đáp án B: y=2x−1x+2.y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}.
  3. Đáp án C: y=x3−2x−1.y = {x^3} - 2x - 1.
  4. Đáp án D: y=−x4−x2+1.y = - {x^4} - {x^2} + 1.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Xét hàm số y=2x−1x+2y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}; có y′=5(x+2)2>0,∀x≠−2y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2.

Do đó hàm số y=2x−1x+2y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} đồng biến trên các khoảng (−∞;−2)\left( { - \infty ; - 2} \right) và (−2;+∞)\left( { - 2; + \infty } \right).

Vậy hàm số y=2x−1x+2y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} không có cực trị. Chọn B.

Câu 2

0,25 điểm
Cho F(x)F\left( x \right) là một nguyên hàm của hàm số f(x)f\left( x \right) trên R.\mathbb{R}. Khẳng định nào sau đây đúng?
  1. Đáp án A: ∫[f(x)+3]dx=F(x)+C\int {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} = F\left( x \right) + C.
  2. Đáp án B: ∫[f(x)+3]dx=F(x)+3x2+C\int {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} = F\left( x \right) + 3{x^2} + C.
  3. Đáp án C: ∫[f(x)+3]dx=F(x)+x3+C\int {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} = F\left( x \right) + {x^3} + C.
  4. Đáp án D: ∫[f(x)+3]dx=F(x)+3x+C\int {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} = F\left( x \right) + 3x + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Ta có: ∫[f(x)+3]dx=F(x)+3x+C\int {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x = F\left( x \right) + 3x + C}. Chọn D.

Câu 3

0,25 điểm

Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

Khối lượng (gam)[80 ; 82)\left[ {80\,;\,82} \right)[82 ;84)\left[ {82\,;84} \right)[84 ; 86)\left[ {84\,;\,86} \right)[86 ; 88)\left[ {86\,;\,88} \right)[88 ;90)\left[ {88\,;90} \right)
Số quả1720251612

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

  1. Đáp án A: 10 gam.
  2. Đáp án B: 12 gam.
  3. Đáp án C: 2 gam.
  4. Đáp án D: 20 gam.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: 90−80=1090 - 80 = 10 gam. Chọn A.

Câu 4

0,25 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho đường thẳng d:{x=2+t  y=−1  z=3+2t(t∈R)d:\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\;\\y = - 1\;\\z = 3 + 2t\end{array} \right.}\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của dd?
  1. Đáp án A: u⃗=(2 ; −1 ; 3)\vec u = \left( {2\,;\, - 1\,;\,3} \right).
  2. Đáp án B: u⃗=(1 ; 0 ; 2)\vec u = \left( {1\,;\,0\,;\,2} \right).
  3. Đáp án C: u⃗=(1 ; −1 ; 2)\vec u = \left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right).
  4. Đáp án D: u⃗=(1 ;−1 ;3)\vec u = \left( {1\,; - 1\,;3} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đường thẳng d:{x=2+ty=−1z=3+2t(t∈R)d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = - 1}\\{z = 3 + 2t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right. có một vectơ chỉ phương là u⃗=(1 ;0 ;2).\vec u = \left( {1\,;0\,;2} \right). Chọn B.

Câu 5

0,25 điểm
Nghiệm của phương trình log⁡(2x+1)=2log⁡2\log \left( {2x + 1} \right) = 2\log 2 là
  1. Đáp án A: x=12.x = \frac{1}{2}.
  2. Đáp án B: x=50.x = 50.
  3. Đáp án C: x=2.x = 2.
  4. Đáp án D: x=32.x = \frac{3}{2}.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Điều kiện xác định: 2x+1>0⇔x>−12.2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}.

log⁡(2x+1)=2log⁡2⇔log⁡(2x+1)=log⁡22\log \left( {2x + 1} \right) = 2\log 2 \Leftrightarrow \log \left( {2x + 1} \right) = \log {2^2} ⇔2x+1=4⇔x=32\Leftrightarrow 2x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}(thỏa mãn). Chọn D.

Câu 6

0,25 điểm
Cho dãy số (un)\left( {{u_n}} \right), biết un=n+12n+1.{u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}. Hỏi 815\frac{8}{{15}} là số hạng thứ mấy của (un)\left( {{u_n}} \right)?
  1. Đáp án A: 7.
  2. Đáp án B: 6.
  3. Đáp án C: 5.
  4. Đáp án D: 8.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm
Biết F(x)=cos⁡xF\left( x \right) = \cos x là một nguyên hàm của hàm số f(x)f\left( x \right) trên R.\mathbb{R}. Giá trị của ∫0π32f(x)dx\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {2f\left( x \right){\rm{d}}x} bằng
  1. Đáp án A: −1- 1.
  2. Đáp án B: 3.
  3. Đáp án C: 1.
  4. Đáp án D: 3.\sqrt 3 .
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm
Đường kính của mặt cầu (S)\left( S \right) bằng
  1. Đáp án A: 3.
  2. Đáp án B: 6.
  3. Đáp án C: 8.
  4. Đáp án D: 4.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm
Khoảng cách từ tâm mặt cầu (S)\left( S \right) đến mặt phẳng (P)\left( P \right) bằng
  1. Đáp án A: 43.\frac{4}{3}.
  2. Đáp án B: 13.\frac{1}{3}.
  3. Đáp án C: 23.\frac{2}{3}.
  4. Đáp án D: 73.\frac{7}{3}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1.ABC.{A_1}{B_1}{C_1}. Đặt AA1→=a⃗,AB→=b⃗,AC→=c⃗\overrightarrow {A{A_1}} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b,\overrightarrow {AC} = \vec c, BC→=d⃗.\overrightarrow {BC} = \vec d. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng?
  1. Đáp án A: a⃗+b⃗+c⃗=d⃗.\vec a + \vec b + \vec c = \vec d.
  2. Đáp án B: a⃗=b⃗+c⃗.\vec a = \vec b + \vec c.
  3. Đáp án C: b⃗−c⃗+d⃗=0⃗.\vec b - \vec c + \vec d = \vec 0.
  4. Đáp án D: a⃗+b⃗+c⃗+d⃗=0⃗.\vec a + \vec b + \vec c + \vec d = \vec 0.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm
Biết đồ thị hàm số y=ax  (a>0,  a≠1)y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right) đi qua điểm M(23;4).M\left( {\frac{2}{3};4} \right). Giá trị của a bằng
  1. Đáp án A: 4.
  2. Đáp án B: 16.
  3. Đáp án C: 8.
  4. Đáp án D: 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm
Cho hàm số y=x−1y = \sqrt {x - 1}, khi đó max⁡[1 ; 5]y+min⁡[1 ; 5]y\mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,5} \right]} y + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1\,;\,5} \right]} y bằng
  1. Đáp án A: 6.
  2. Đáp án B: 4.
  3. Đáp án C: 8.
  4. Đáp án D: 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hai công nhân cần phải hoàn thành số sản phẩm nhất định. Công nhân thứ nhất phải làm 45% số sản phẩm, công nhân thứ hai phải làm 55% số sản phẩm. Khả năng xảy ra sai sót của công nhân thứ nhất là 3% và của công nhân thứ hai là 1%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm.

F Gọi A là biến cố: “Sản phẩm được chọn là của công nhân thứ nhất”.

F Gọi B là biến cố: “Sản phẩm được chọn bị lỗi”.

  • Ý a: P(A)=0,5P\left( A \right) = 0{,}5.
  • Ý b: Xác suất có điều kiện P(B∣A)=0,03P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}03.
  • Ý c: P(B)=0,02P\left( B \right) = 0{,}02.
  • Ý d: Biết sản phẩm chọn được bị lỗi, xác suất sản phẩm được chọn là của công nhân thứ nhất bằng 2738.\frac{{27}}{{38}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm
Khi đun nước, nhiệt độ ban đầu của nước trong ấm là 20∘C20^\circ {\rm{C}} và tăng dần với tốc độ T1′=75e−t(∘C/{T_1}^\prime = 75{e^{ - t}}\left( {^\circ {\rm{C}}/} \right. phút) (t≥0)(t \ge 0), trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bếp được bật lên. Khi nước trong ấm đạt 85∘C85^\circ {\rm{C}} thì bếp được tắt đi và nhiệt độ T∘CT^\circ {\rm{C}} của nước trong ấm khi này xác định theo công thức T2=15+a⋅e−t20  (t≥0){T_2} = 15 + a \cdot {e^{ - \frac{t}{{20}}}}\,\,\left( {t \ge 0} \right), trong đó a là hằng số và t (phút) là thời gian tính từ lúc tắt bếp.
  • Ý a: T1=−75e−t+C{T_1} = - 75{e^{ - t}} + C với C là hằng số.
  • Ý b: Giá trị của a bằng 85.
  • Ý c: Sau khoảng 120 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của giây) kể từ lúc bật bếp thì nước trong ấm đạt 85∘C.85^\circ {\rm{C}}.
  • Ý d: Sau khoảng 21 phút (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) kể từ lúc bật bếp thì nhiệt độ của nước trong ấm giảm xuống tới 40∘C.40^\circ {\rm{C}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5  (m).5\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}} Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ). Diện tích của thiết diện là S(x)S\left( x \right) và chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức h=3−25xh = 3 - \frac{2}{5}x với x  (m)x\;{\rm{(m)}} là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa thiết diện.

Hình minh hoạ

  • Ý a: Thể tích của đường hầm được tính theo công thức: V=π∫05S2(x)dx  (m3)V = \pi \int\limits_0^5 {{S^2}\left( x \right){\rm{d}}x} \,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}.
  • Ý b: Parabol có chiều cao h, độ dài đáy bằng 2*h* có phương trình là y=−x2h+h.y = \frac{{ - {x^2}}}{h} + h.
  • Ý c: Diện tích thiết diện được tính bởi công thức S=2∫0h(h−x2h) dxS = 2\int\limits_0^h {\left( {h - \frac{{{x^2}}}{h}} \right)} \,{\rm{d}}x.
  • Ý d: Thể tích của hầm là 29,89  m329{,}89\;{{\rm{m}}^3} (làm tròn đến hàng phần trăm).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho đường thẳng d:x+12=y−1−2=z−11d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1} và hai mặt phẳng (P):x−2y+2z+2=0,  (Q):x+2y−2z+14=0\left( P \right):x - 2y + 2z + 2 = 0,\,\,\left( Q \right):x + 2y - 2z + 14 = 0.
  • Ý a: Hai mặt phẳng (P)\left( P \right) và (Q)\left( Q \right) song song với nhau.
  • Ý b: Góc α\alpha là góc giữa đường thẳng (d)\left( d \right) và mặt phẳng (P)\left( P \right), giá trị sin⁡α\sin \alpha là 79\frac{7}{9}.
  • Ý c: Phương trình đường thẳng Δ\Delta nằm trong mặt phẳng (P)\left( P \right), cắt và vuông góc với đường thẳng (d)\left( d \right) có phương trình {x=−54+2ty=54+3tz=78+2t\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{5}{4} + 2t\\y = \frac{5}{4} + 3t\\z = \frac{7}{8} + 2t\end{array} \right..
  • Ý d: Mặt cầu (S)\left( S \right) có tâm I(a;b;c)(a<0)I\left( {a;b;c} \right)\left( {a < 0} \right) thuộc dd, tiếp xúc với (P)\left( P \right) và (Q)\left( Q \right) có bán kính bằng 9.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một ống khói có cấu trúc gồm một khối chóp cụt tứ giác đều có thể tích V1{V_1} và một khối hộp chữ nhật có thể tích V2{V_2} ghép lại với nhau như hình bên dưới. Cho biết bản vẽ hình chiếu của ống khói với phương chiếu trùng với phương của một cạnh đáy khối chóp cụt như hình vẽ, hãy tính tỉ số thể tích V1V2\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm
Một công ty sản xuất hai loại thiết bị dạy học A và B dành cho môn Toán lớp 12. Mỗi sản phẩm loại A cần 9 giờ lao động để gia công và 1 giờ lao động để hoàn thiện. Mỗi sản phẩm loại B cần 12 giờ lao động để gia công và 3 giờ lao động để hoàn thiện. Số giờ lao động tối đa có sẵn mỗi tuần cho gia công và hoàn thiện lần lượt là 180 giờ và 30 giờ. Công ty thu được lợi nhuận là 80 000 đồng trên mỗi sản phẩm loại A và 120 000 đồng trên mỗi sản phẩm loại B. Cần sản xuất xx sản phẩm loại A và yy sản phẩm loại B mỗi tuần để có được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa mỗi tuần là bao nhiêu nghìn đồng?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm
Theo một cuộc khảo sát thống kê, có 40% các vụ tai nạn xe cộ gây chết người là do có người lái xe say rượu. Giả sử tỉ lệ số người say rượu khi lái xe là 4%. Việc say rượu khi lái xe có thể làm tăng khả năng tai nạn chết người lên bao nhiêu lần?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho A(1 ;−1 ; 0), B(2 ;0 ; 3)A\left( {1\,; - 1\,;\,0} \right),\,B\left( {2\,;0\,;\,3} \right) và mặt phẳng (P):x−2y−2z+4=0\left( P \right):x - 2y - 2z + 4 = 0. Điểm M(a ; b ; c)M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right) có hoành độ dương thuộc mặt phẳng (P)\left( P \right) sao cho AM=61AM = \sqrt {61} và MBMB vuông góc với ABAB. Khi đó giá trị của a+b+ca + b + c bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm
Trong một quá trình sản xuất hóa chất nhất định, trọng lượng hàng ngày yy của sản phẩm hóa chất bị lỗi phụ thuộc vào tổng trọng lượng xx của tất cả sản phẩm theo công thức thực nghiệm y=0,02x+0,00006x2y = 0{,}02x + 0{,}00006{x^2}, trong đó, xx và yy tính bằng kilôgam. Nếu lợi nhuận là 50 triệu đồng cho mỗi kilôgam hóa chất không bị lỗi và tổn thất là 10 triệu đồng cho mỗi kilôgam hóa chất bị lỗi, vậy thì nên sản xuất bao nhiêu kilôgam hóa chất mỗi ngày để tối đa hóa tổng lợi nhuận hàng ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

0,5 điểm

Xe xúc tuyết phải dọn tuyết bằng cách lái xe dọc theo tất cả các con đường được hiển thị như hình vẽ (đơn vị: km).

Hình minh hoạ

Quãng đường ngắn nhất xe xúc tuyết phải đi bằng bao nhiêu km?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề tham khảo Tốt nghiệp Toán 2026-2027 · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT