Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 5)

Xét hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$; có $y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2$.

Do đó hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$ không có cực trị. Chọn B.

Điều kiện xác định: $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}.$

$\log \left( {2x + 1} \right) = 2\log 2 \Leftrightarrow \log \left( {2x + 1} \right) = \log {2^2}$ $\Leftrightarrow 2x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$(thỏa mãn). Chọn D.

Ta có: $\frac{8}{{15}} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} \Leftrightarrow 8\left( {2n + 1} \right) = 15\left( {n + 1} \right)$$\Leftrightarrow 16n + 8 = 15n + 15 \Leftrightarrow n = 7.{\rm{ }}$

Vậy $\frac{8}{{15}}$ là số hạng thứ 7 của $\left( {{u_n}} \right){\rm{.}}$ Chọn A.

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 4y - 4z + 3 = 0$ có tâm $I\left( {2\,; - 2\,;2} \right)$ và bán kính

$R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} - 3} = 3.$ Vậy đường kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là 6. Chọn B.

Ta có: $\vec b + \vec d + \vec c = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} = 2\vec c$

$\Rightarrow \vec b + \vec d + \vec c = 2\vec c \Leftrightarrow \vec b + \vec d - \vec c = \vec 0$. Chọn C.

Ta có: $y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ đi qua điểm $M\left( {\frac{2}{3};4} \right)$ nên $4 = {a^{\frac{2}{3}}}$

$\Leftrightarrow {a^2} = {4^3} \Leftrightarrow {a^2} = {4^3} = 64 \Leftrightarrow a = \pm 8 \Leftrightarrow a = 8.$ Chọn C.

Ta có $y' = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} > 0;\,\,\forall x \in \left[ {1\,;\,5} \right].$

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1\,;\,5} \right]$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,5} \right]} y + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1\,;\,5} \right]} y = y\left( 5 \right) + y\left( 1 \right) = 2$. Chọn D.

a) Sai. $A$ là biến cố: “Sản phẩm được chọn là của công nhân thứ nhất”. Do công nhân thứ nhất phải làm 45% số sản phẩm nên $P\left( A \right) = 45\% = 0{,}45.$

b) Đúng. Do tỉ lệ sản phẩm lỗi của công nhân thứ nhất là 3% nên $P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}03.$

c) Sai. Ta có $P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}55$.

Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của công nhân số hai là 1% nên $P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0{,}01.$

Vậy $P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right)P\left( {B\mid \bar A} \right)$$= 0{,}45 \cdot 0{,}03 + 0{,}55 \cdot 0{,}01 = 0{,}019.$

d) Đúng. Xác suất để sản phẩm được chọn là sản phẩm của công nhân thứ nhất bị lỗi là

$P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}45 \cdot 0{,}03}}{{0{,}019}} = \frac{{27}}{{38}}$.

a) Đúng. ${T_1} = \int 7 5{e^{ - t}}{\rm{d}}t = - 75{e^{ - t}} + C$ với C là hằng số.

Vì nhiệt độ ban đầu là $20^\circ {\rm{C}}$ nên ${T_1}\left( 0 \right) = - 75 + C = 20 \Rightarrow C = 95$$\Rightarrow {T_1} = - 75{e^{ - t}} + 95$.

b) Sai. Vì khi nước trong ấm đạt $85^\circ {\rm{C}}$ thì bếp được tắt đi nên ta có:

${T_2}\left( 0 \right) = 15 + a \cdot {e^{\frac{{ - 0}}{{20}}}} = 85 \Rightarrow a = 70$.

c) Sai. Ta có: ${T_1}\left( t \right) = 85 \Leftrightarrow - 75{e^{ - t}} + 95 = 85 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{{10}}{{75}}$

$\Leftrightarrow t \approx 2{,}0149$(phút) $= 120{,}894$ giây $\approx 121$ giây.

d) Sai. Theo câu c) ta có sau 2 phút kể từ khi mở bếp thì nước trong ấm đạt nhiệt độ $85^\circ {\rm{C}}.$

Sau đó thì nhiệt độ của nước trong ấm sẽ tính theo công thức ${T_2} = 15 + 70 \cdot {e^{\frac{{ - t}}{{20}}}}$.

Thời gian từ lúc tắt bếp đến khi nhiệt độ trong ấm giảm xuống tới $40^\circ C$ là

$15 + 70 \cdot {e^{\frac{{ - t}}{{20}}}} = 40$$\Leftrightarrow {e^{\frac{{ - t}}{{20}}}} = \frac{5}{{14}} \Leftrightarrow t \approx 21$ phút.

Vậy sau khoảng 23 phút kể từ lúc bật bếp thì nhiệt độ của nước trong ấm giảm xuống tới $40^\circ {\rm{C}}.$

a) Sai. Vì $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện nên thể tích của hầm phải là $V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\,\,({{\rm{m}}^3}).$

b) Đúng. $y$ đi qua $\left( {h\,;\,0} \right)$ và $\left( { - h\,;\,0} \right) \Rightarrow y = a\left( {x - h} \right)\left( {x + h} \right)$.

Tại $x = 0$ thì $f\left( 0 \right) = h \Rightarrow - a \cdot {h^2} = h \Rightarrow a = - \frac{1}{h}$$\Rightarrow y = f\left( x \right) = - \frac{1}{h}\left( {{x^2} - {h^2}} \right) = - \frac{1}{h}{x^2} + h$.

c) Đúng. Diện tích $S$ của thiết diện là: $S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^h {\left( {h - \frac{{{x^2}}}{h}} \right){\rm{d}}x}$.

d) Sai. Ta có $S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right){\rm{d}}x} = \frac{{4{h^2}}}{3}$. Với $h = 3 - \frac{2}{5}x,S = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}$.

Thể tích của hầm là $V = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}} {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\;{\rm{d}}x \approx 28{,}89\;({{\rm{m}}^3})$.

a) Sai. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)$; mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_P}}$ và $\overrightarrow {{n_Q}}$ không cùng phương nên hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ không song song với nhau.

b) Sai. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {1 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{9}$.

c) Đúng. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Khi đó $M\left( { - 1 + 2t;1 - 2t;1 + t} \right) \in d$.

Vì đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $M \in \left( P \right)$.

Do đó $- 1 + 2t - 2\left( {1 - 2t} \right) + 2\left( {1 + t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow 8t = - 1 \Rightarrow t = - \frac{1}{8}$.

Suy ra $M\left( { - \frac{5}{4};\frac{5}{4};\frac{7}{8}} \right)$.

Lại có $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2;3;2} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Do đó phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{5}{4} + 2t\\y = \frac{5}{4} + 3t\\z = \frac{7}{8} + 2t\end{array} \right.$.

d) Đúng. Tâm $I \in d$ $\Rightarrow I\left( {2t - 1; - 2t + 1;t + 1} \right)$.

Ta có $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ $\Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = R$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2t - 1 - 2\left( { - 2t + 1} \right) + 2\left( {t + 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2t - 1 + 2\left( { - 2t + 1} \right) - 2\left( {t + 1} \right) + 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = R$

$\Leftrightarrow \left| {8t + 1} \right| = \left| { - 4t + 13} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8t + 1 = - 4t + 13\\8t + 1 = 4t - 13\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{7}{2}\end{array} \right.$.

Vì $a < 0$ nên chọn $t = \frac{{ - 7}}{2}$.

Suy ra $I\left( { - 8;8; - \frac{5}{2}} \right)$ thỏa mãn $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9$.

Đáp án: 0,67.

Vì phần dưới của ống khói là 1 khối chóp cụt đều, do đó 2 đáy của khối chóp cụt này là hình vuông (với độ dài đáy lớn bằng $2x$ và độ dài đáy nhỏ bằng $x$), dẫn đến 2 đáy của khối hộp chữ nhật cũng là hình vuông (có độ dài là $x$).

Để tính thể tích của 2 khối trên, ta áp dụng các công thức sau:

+) Tính thể tích của khối hộp chữ nhật: $V = a \cdot b \cdot c$ với $a,b,c$ lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình.

+) Tính thể tích của khối chóp cụt:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( {S + \sqrt {S \cdot S'} + S'} \right)$ với $h$ là chiều cao của khối chóp, $S$ là diện tích đáy lớn và $S'$ là diện tích đáy nhỏ của khối chóp cụt.

Dựa vào hình chiếu đã cho, ta có:

+) Khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng $x$ và chiều cao bằng 3*x*:

Suy ra thể tích ${V_2} = x \cdot x \cdot 3x = 3{x^3}$.

+) Kẻ $AH \bot BH,CE \bot BD$ và kí hiệu các điểm như hình vẽ:

Khi đó, ta có $2BH = 2x - x = x \Rightarrow BH = \frac{x}{2}.$

Xét tam giác vuông ABH vuông tại H, ta có: $\tan 60^\circ = \frac{{AH}}{{BH}}$

$\Rightarrow AH = BH \cdot \tan 60^\circ = \frac{x}{2} \cdot \sqrt 3$.

Khối chóp cụt đều có chiều cao là $AH = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}$, diện tích đáy lớn là $S = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2}$ và diện tích đáy nhỏ là $S' = {x^2}$ có thể tích bằng ${V_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( {4{x^2} + \sqrt {4{x^2} \cdot {x^2}} + {x^2}} \right)$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( {4{x^2} + 2{x^2} + {x^2}} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot 7{x^2}$$= \frac{{7\sqrt 3 {x^3}}}{6}.$

Suy ra $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{7\sqrt 3 {x^3}}}{6}}}{{3{x^3}}} \approx 0{,}67.$

Đáp án: 1680.

Lợi nhuận của công ty là $L = 80000x + 120000y$ (đồng).

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0}\\{y > 0}\\{9x + 12y \le 180}\\{x + 3y \le 30}\end{array}} \right..$

Miền giá trị của hệ bất phương trình trên chính là tứ giác OBAC.

Hàm $L$ đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác trên.

Tại điểm $O\left( {0\,;0} \right):L = 0.$ Tại điểm $B\left( {20\,;0} \right):L = 1\,600\,000.$

Tại điểm $A\left( {12\,;6} \right):L = 1\,680\,000.$ Tại điểm $C\left( {0\,;10} \right):L = 1\,200\,000.$

Vậy lợi nhuận cao nhất là 1680 nghìn đồng.

Đáp án: 10.

Gọi $A$ là biến cố: “Lái xe gây tai nạn chết người”; $B$ là biến cố : “Người lái xe say rượu”.

Yêu cầu bài toán trở thành tính tỉ lệ $\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}$. Theo đề ta có: $P\left( {B|A} \right) = 40\% ;P\left( B \right) = 4\%$.

Ta có $P\left( {AB} \right) = P\left( {A\mid B} \right) \cdot P\left( B \right) = P\left( {B\mid A} \right) \cdot P\left( A \right)$$\Rightarrow \frac{{P\left( {A\mid B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{40\% }}{{4\% }} = 10.{\rm{ }}$

Đáp án: 11.

Cách 1: Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;1\,;3} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {2 - a;\, - b\,;3 - c} \right){\rm{. }}$

Vì $AB \bot MB \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$$\Rightarrow 2 - a - b + 3\left( {3 - c} \right) = 0 \Rightarrow a + b + 3c = 11$ (1).

Vì $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow a - 2b - 2c + 4 = 0$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{b = \frac{{15 - 5c}}{3}}\\{a = \frac{{18 - 4c}}{3}}\end{array}} \right.$.

Vì $AM = \sqrt {61} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} = \sqrt {61}$$\Rightarrow {\left( {\frac{{18 - 4c}}{3} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{15 - 5c}}{3} + 1} \right)^2} + {c^2} = 61$

$\Rightarrow {\left( {15 - 4c} \right)^2} + {\left( {18 - 5c} \right)^2} + 9{c^2} = 549$$\Rightarrow 50{c^2} - 300c = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 0}\\{c = 6}\end{array}} \right.{\rm{. }}$

+) $c = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 6\,\,{\rm{(tmdk}})}\\{b = 5}\end{array} \Rightarrow a + b + c = 11} \right.{\rm{. }}$

+) $c = 6 \Rightarrow a = - 2$ (loại).

Cách 2: + Nhận xét: $B \in \left( P \right)$.

+ $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;1\,;3} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {11}$.

+ $MB \bot AB;MB \in \left( P \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {MB} \bot {{\vec n}_P}}\\{\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {AB} }\end{array}} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {MB} = \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left. {{{\vec n}_P},\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 4; - 5;3} \right)}\end{array}} \right.$.

Suy ra phương trình đường thẳng $MB$ là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 - 4t}\\{y = 0 - 5t \Rightarrow M\left( {2 - 4t; - 5t;3 + 3t} \right)}\\{z = 3 + 3t}\end{array}} \right.$.

+ $M{B^2} = 50 \Leftrightarrow {\left( {4t} \right)^2} + {\left( {5t} \right)^2} + {\left( { - 3t} \right)^2} = 50 \Leftrightarrow {t^2} = 1$$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1 \to M\left( { - 2; - 5;6} \right)}\\{t = - 1 \to M\left( {6\,;5\,;0} \right)}\end{array}} \right.$.

Vì $M$ có hoành độ dương nên $M\left( {6;5;0} \right)$$\Rightarrow a + b + c = 11.$

Đáp án: 6778.

Số sản phẩm không bị lỗi là $x - y$.

Tổng lợi nhuận hằng ngày là: $P\left( x \right) = 50\left( {x - y} \right) - 10y$.

Thay $y = 0{,}02x + 0{,}00006{x^2}$ vào phương trình lợi nhuận, ta được: $P\left( x \right) = 48{,}8x - 0{,}0036{x^2}$.

Lợi nhuận mỗi ngày được tối đa hóa khi $P\left( x \right)$ lớn nhất và $x$ là điểm cực đại.

Ta có: $P'\left( x \right) = 48{,}8 - 0{,}0072x = 0 \Rightarrow x \approx 6778$.

Vậy nên sản xuất 6778 kilogam để tối đa hóa lợi nhuận.

Đáp án: 21.

Nhận thấy đây là đồ thị vô hướng có hai đỉnh bậc lẻ $\Rightarrow$ Có đường đi Euler.

Để xe xúc tuyết đi được quāng đường ngắn nhất thì xe chỉ đi qua các con đường đúng một lần.

Một trong số các cách đi của xe là:

$A \to B \to I \to H \to G \to F \to C \to B \to G \to C.$

Quāng đường ngắn nhất xe xúc tuyết phải đi là:

$1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 2 + 5 = 21\,\,{\rm{(km)}}$.