Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 40)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong một sảnh lớn của một công ty, có một lối đi vào khu làm việc. Công ty đang thử nghiệm tại lối đi này một hệ thống cửa tự động có sử dụng công nghệ nhận diện gương mặt. Khi nhận diện gương mặt là nhân viên thì hệ thống mới mở cửa để người đó vào.

Đối với nhân viên công ty, hệ thống nhận diện đúng với xác suất 98%.

Đối với khách, hệ thống nhận diện nhầm là nhân viên với xác suất 10%.

Biết rằng trong sảnh của công ty, tỉ lệ nhân viên công ty là 80%, còn lại là khách.

Một viên pin dự phòng có dung lượng thiết kế là 20000 mAh đang vừa xạc vừa cấp điện cho một thiết bị khác. Trong quá trình này, các kĩ sư sử dụng một mô hình gần đúng để mô tả tại thời điểm $t$ phút$\left( {t \ge 0} \right)$ kể từ khi khảo sát như sau:

Tốc độ nạp điện vào pin là $f\left( t \right) = 400{e^{ - 0{,}01t}}$ (mAh/phút).

Do thiết bị hoạt động và hao phí trên mạch điện nên điện tích bị tiêu hao. Tốc độ tiêu hao là $g\left( t \right) = 20{e^{0{,}04t}}$ (mAh/phút).

Gọi $Q\left( t \right)$ là lượng điện tích tích lũy được trong pin tại thời điểm $t$ phút kể từ khi bắt đầu khảo sát. Biết rằng tốc độ biến thiên của $Q\left( t \right)$ là $Q'\left( t \right) = f\left( t \right) - g\left( t \right)$ và tại thời điểm ban đầu, lượng điện tích tích lũy bằng 0.

Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý vật lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó. Để đưa vệ tinh lên quỹ đạo, người ta sử dụng các loại tên lửa đẩy khác nhau để cung cấp cho vệ tinh động lượng cần thiết để thoát khỏi trọng lực của Trái Đất và duy trì quỹ đạo ổn định. Để thuận tiện ta quy ước một quỹ đạo gần tròn thành một đường tròn. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, gốc tọa độ là tâm trái đất, một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo được coi như một đường tròn có bán kính $13440\;{\rm{km}}$ có điểm xuất phát là điểm $B\left( {4032;0; - 5376} \right)$ và đây cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh. Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung $Oy$ và có tâm nằm trên đường thẳng $OB$. Coi trái đất là hình cầu hoàn hảo có bán kính $6400\;{\rm{km}}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một cơ sở sản xuất nước mắm dự định tung ra thị trường dòng sản phẩm nước mắm đặc biệt. Dự kiến mỗi tháng cơ sở sản xuất và bán ra $x$ chai $\left( {0 \le x \le 1000} \right)$. Giá bán mỗi chai được ấn định là $300000$ đồng. Tổng chi phí sản xuất $x$ chai mỗi tháng (bao gồm nguyên liệu, nhân công, bao bì và chi phí vận hành) được ước tính bởi hàm số: $C\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^2} + 60x + 25000$ (đơn vị: nghìn đồng). Hỏi cơ sở nên sản xuất bao nhiêu chai mỗi tháng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất?

Trong một dự án phủ sóng viễn thông cho vùng cao, các kỹ sư cần lắp đặt một trạm phát sóng trên một sườn núi. Qua khảo sát, sườn núi này được mô hình hóa trong hệ tọa độ $Oxyz$ bằng mặt phẳng $\left( P \right):x + y - 4z - 7 = 0$ (với $z \ge 0$, đơn vị trên các trục là $100{\rm{ m}}$). Trạm phát sóng có cột ăng-ten cao $100{\rm{ m}}$, được dựng thẳng đứng (song song với trục $Oz$) với chân cột $H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)$ nằm trên sườn núi $\left( P \right)$. Thiết bị phát tín hiệu đặt tại đỉnh $S$ của cột có bán kính phủ sóng tối đa là $100\sqrt {54} {\rm{ m}}$. Dưới chân núi có một khu dân cư nhỏ nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right).$

Để đảm bảo sóng ổn định và bao phủ toàn bộ khu vực này, các kỹ sư tính toán yêu cầu hai vị trí trọng yếu là $A\left( { - 2;3;0} \right)$ và $B\left( {2;1;0} \right)$ phải nằm ở vạch ranh giới cuối cùng của vùng phủ sóng. Tính giá trị $T = {x_H} \cdot {y_H} \cdot {z_H}$.

Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao $50\,{\rm{cm}}$, với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng. Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt cắt bất kỳ đi qua qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính $40\,{\rm{cm}}$; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là $30\,{\rm{cm}}$. Biết khối lượng riêng của đồng là $8960\,\,{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$, giá đồng là 220 nghìn đồng cho mỗi kilôgam và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả đến hàng phần mười)