Hai bạn An và Bình cùng chơi trò chơi. An rút ngẫu nhiên 1 thẻ trong hộp đựng 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Sau đó Bình gieo xúc xắc với số lượng xúc xắc bằng đúng với số trên thẻ An rút được. Biết rằng các xúc xắc đều cân đối và đồng chất.
aÝ a: Xác suất để An chọn được thẻ số 5 là 51.
bÝ b: Biết rằng An rút được thẻ số 3, xác suất để tổng số chấm trên các con xúc xắc Bình gieo bằng 8 là 727.
cÝ c: Xác suất để không có mặt 6 chấm xuất hiện là 77764651.
dÝ d: Xác suất để An chọn được thẻ số 4 bằng 156254026, biết rằng có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.
Một kĩ sư phần mềm kí hợp đồng lao động với một công ty công nghệ. Theo thỏa thuận, vào đầu mỗi năm làm việc, kĩ sư này nhận mức lương của năm đó. Mức lương năm đầu tiên là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm mức lương sẽ được tăng thêm 12 triệu đồng so với năm liền trước đó.
aÝ a: Mức lương của kĩ sư đó qua từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1=120 và công sai d=12 (u1và d đơn vị triệu đồng).
bÝ b: Vào năm thứ 5 làm việc cho công ty, mức lương của kĩ sư đó nhận được trong năm đó là 180 triệu đồng.
cÝ c: Sau 10 năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư đó nhận được từ công ty là 1740 triệu đồng.
dÝ d: Nếu ngay sau khi nhận lương vào ngày 1/1 mỗi năm, kĩ sư trích ra 40% số tiền đó để gửi tiết kiệm tại một ngân hàng với lãi suất 5% theo hình thức lãi kép (tiền lãi của mỗi năm được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo). Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi, và việc nhận lương của kĩ sư không bị gián đoạn, đồng thời ngân hàng luôn tính lãi cuối kì vào ngày 31/12 của năm đó. Khi đó, tổng số tiền lãi mà kĩ sư nhận được tại thời điểm hết năm gửi tiền thứ 10 (làm tròn đến hàng đơn vị) là 198 (triệu đồng).
Một hạt proton chuyển động trong điện trường từ điểm A(2;1;5) (đơn vị mm) theo một đường thẳng hướng lên trên. Hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 30∘. Biết hình chiếu vuông góc của hướng chuyển động lên mặt phẳng (Oxy) hợp với trục Ox một góc 45∘. Vận tốc của hạt tại thời điểm t (giây) là v(t)=ke0,5t(mm/s) với k là hằng số dương. Biết rằng trong 2ln2 giây đầu tiên, hạt đi được quãng đường là 20mm. Gọi B(xB;yB;zB)là vị trí của hạt tại thời điểm t=2 (giây).
aÝ a: Vectơ đơn vị hướng chuyển động u=(a;b;c) và cao độ c=sin30∘=21.
bÝ b: Vectơ đơn vị hướng chuyển động của hạt là u=(23;23;21).
cÝ c: Hằng số k trong công thức vận tốc có giá trị bằng 10.
dÝ d: Tại vị trí B, cao độ zB của hạt là 20mm(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một cái ly thủy tinh có chiều cao 30cm. Khi cắt ly bởi các mặt phẳng song song với mặt đất, ta thấy mặt cắt là các hình tròn. Khi cắt ly bởi mặt phẳng đi qua trục đối xứng và vuông góc với đáy, ta được một hình phẳng ABCD có trục đối xứng, với hai đường biến AD và BC là các cung của hypebol (xem hình minh họa). Biết đường tròn giao tuyến tại vị trí hẹp nhất của ly có đường kínhMN=8cm, khoảng cách từ vị trí hẹp nhất này đến đáy ly là20cm và đường kính đáy ly làCD=86cm( độ dày thành ly xem như không đáng kể). An đặt một khối lập phương đặt ruột, bằng kim loại, lên miệng ly nước sao cho một đỉnh của khối lập phương nằm gọn trong lòng ly, đồng thời mô hình ly nước và khối lập phương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Giả sử, coi như ba cạnh của khối lập phương chạm khít với thành miệng ly (xem hình vẽ). Nếu ban đầu An đổ nước đầy ly thì sau khi đặt đặt khối lập phương như trên, lượng nước trong ly còn lại bao nhiêu centimet khối? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 5, hình chiếu A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC và góc nhị diện [C′,BC,A] bằng 120∘. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC′B′) (làm tròn đến hàng phần mười).
Ngày 10 tháng 1 năm 2025, anh An gửi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Kể từ tháng 2 năm 2025, cứ vào ngày 10 mỗi tháng anh An đến ngân hàng rút ra 25 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh An rút hết tiền trong ngân hàng (ở tháng cuối cùng, số tiền rút ra có thể ít hơn 25 triệu đồng)?
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 30cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí A và D, kiến vàng đi thẳng từ A đến D′ với vận tốc 1cm/s và kiến đen đi thẳng từ D đến B với vận tốc 2cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Tín chỉ carbon là một đơn vị thương mại đại diện cho quyền phát thải khí nhà kính, trong đó mỗi tín chỉ được tính toán định lượng tương đương với một tấn CO2 (hoặc khí nhà kính khác quy đổi tương đương) đã được cắt giảm hoặc loại bỏ khỏi khí quyển. Về bản chất toán học, đây là một hệ thống kế toán sinh thái dựa trên nguyên tắc cân bằng: các tổ chức phát thải vượt hạn ngạch phải mua lại tín chỉ từ những dự án có chỉ số phát thải âm để triệt tiêu phần chênh lệch. Việc định giá và giao dịch các tín chỉ này tạo ra một cơ chế tài chính minh bạch, biến các nỗ lực bảo vệ môi trường thành tài sản số có giá trị kinh tế bền vững.
Một doanh nghiệp cần đầu tư mua tín chỉ carbon từ hai dự án: Dự án A (trồng rừng) và Dự án B (năng lượng sạch). Mỗi tín chỉ dự án A giá 20 USD, dự án B giá 30 USD. Dự án A giúp giảm 1,5 tấn CO2/tín chỉ, dự án B giảm 2 tấn CO2/tín chỉ. Tổng số tín chỉ của hai dự án không quá 25. Doanh nghiệp cần mua x tín chỉ từ dự án A và y tín chỉ từ dự án B để lượng CO2 giảm được là tối đa, biết rằng tổng ngân sách của doanh nghiệp không quá 600 USD. Giá trị của y là bao nhiêu?
