Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 31)

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là

Hình minh hoạ

Đáp án A: $\left( { - 1;1} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {1;0} \right)$ .
Đáp án C: $\left( { - 1;4} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {4; - 1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là

\left( { - 1;4} \right)

. Chọn C.

Câu 2

0,25 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên:

Hình minh hoạ

Khẳng định nào sau đây là sai?

Đáp án A: Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ .
Đáp án B: Hàm số có hai điểm cực trị.
Đáp án C: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Đáp án D: Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $5$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hàm số không có giá trị lớn nhất do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 5$ .

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ tại $x = - 1$ .

Hàm số có hai điểm cực trị là $x = - 1$ và $x = 2$ (đạo hàm đổi dấu).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 5$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = 5$ và $y = - 1$ . Chọn D.

Câu 3

0,25 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hình minh hoạ

Tổng số tiệm đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Đáp án A: 2.
Đáp án B: 0.
Đáp án C: 3.
Đáp án D: 1.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ nên $x = - 1$ là đường tiệm cận đứng.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2$ nên $y = 2$ là đường tiệm cận ngang.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1$ nên $y = - 1$ là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 đường tiệm cận. Chọn C.

Câu 4

0,25 điểm

Đồ thị hàm số

y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}

có tiệm cận xiên là đường thẳng

Đáp án A: $y = x.$
Đáp án B: $y = x - 1.$
Đáp án C: $y = 2x - 1.$
Đáp án D: $y = x + 1.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$ .

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0$ .

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = x + 1$ . Chọn D.

Câu 5

0,25 điểm

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f\left( x \right) = 2x + 3

là

Đáp án A: ${x^2} + 3x + C$ .
Đáp án B: $2{x^2} + 3x + C$ .
Đáp án C: ${x^2} + C$ .
Đáp án D: $2{x^2} + C$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có

\int {\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x = } \,{x^2} + 3x + C

. Chọn A.

Câu 6

0,25 điểm

Giả sử

\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37

và

\int\limits_0^9 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16

. Khi đó

I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}

bằng

Đáp án A: $I = 122$ .
Đáp án B: $I = 26$ .
Đáp án C: $I = 143$ .
Đáp án D: $I = 58$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

Khối lượng (gam)	$\left[ {80\,;\,82} \right)$	$\left[ {82\,;\,84} \right)$	$\left[ {84\,;\,86} \right)$	$\left[ {86\,;\,88} \right)$	$\left[ {88\,;\,90} \right)$
Số quả	$17$	$20$	$25$	$16$	$12$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Đáp án A: $10$ .
Đáp án B: $12$ .
Đáp án C: $2$ .
Đáp án D: $20$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được cho ở bảng dưới đây.

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
$\left[ {40;45} \right)$	42,5	4
$\left[ {45;50} \right)$	47,5	14
$\left[ {50;55} \right)$	52,5	8
$\left[ {55;60} \right)$	57,5	10
$\left[ {60;65} \right)$	62,5	6
$\left[ {65;70} \right)$	67,5	2
		$n = 44$

Biết số trung bình của mẫu số liệu đã cho là $\bar x \approx 53{,}18$ . Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) là

Đáp án A: ${s^2} = 46{,}12$ .
Đáp án B: ${s^2} = 46{,}1$ .
Đáp án C: ${s^2} = 46{,}21$ .
Đáp án D: ${s^2} = 46{,}2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai vectơ

\overrightarrow u = \left( {1;3; - 2} \right)

và

\overrightarrow v = \left( {2;1; - 1} \right)

. Toạ độ vectơ

\overrightarrow u - \overrightarrow v

là:

Đáp án A: $\left( {3;4; - 3} \right)$ .
Đáp án B: $\left( { - 1;2; - 3} \right)$ .
Đáp án C: $\left( { - 1;2; - 1} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {1; - 2;1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

phương trình mặt phẳng đi qua điểm

A\left( {2; - 1;3} \right)

và có vectơ pháp tuyến

\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)

là:

Đáp án A: $2x + 3y - z - 2 = 0.$
Đáp án B: $2x + 3y - z + 2 = 0.$
Đáp án C: $2x - y + 3z - 2 = 0.$
Đáp án D: $2x - y + 3z + 2 = 0.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng

d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}

. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của

d

Đáp án A: $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 5;3} \right)$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;4; - 1} \right)$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;5;3} \right)$ .
Đáp án D: $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {3;4;1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

\left( S \right)

tâm

A\left( {2;1;0} \right)

, đi qua điểm

B\left( {0;1;2} \right)

Đáp án A: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 8$ .
Đáp án B: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8$ .
Đáp án C: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 64$ .
Đáp án D: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 64$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình bên.

Hình minh hoạ

Ý a: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ .
Ý b: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0} = - 1$ .
Ý c: Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ .
Ý d: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;0} \right]$ bằng $1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng

90{,}7

triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau

t

năm được xác định bởi hàm số

S\left( t \right)

(đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi

S'\left( t \right) = 1{,}2698{e^{0{,}014t}},

với

t

là số năm kể từ năm 2014,

S'\left( t \right)

tính bằng triệu người/năm.

Ý a: $S\left( t \right)$ là một nguyên hàm của $S'\left( t \right)$ .
Ý b: $S\left( t \right) = 90{,}7{e^{0{,}014t}} + 90{,}7$ .
Ý c: Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng $1{,}7$ triệu người/năm.
Ý d: Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng $120$ triệu người.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có $S\left( {0;0;3{,}5} \right),\,ABCD$ là hình chữ nhật với $A\left( {0;0;0} \right),$ $B\left( {4;0;0} \right),D\left( {0;10;0} \right)$ (tham khảo hình bên).

Hình minh hoạ

Ý a: Toạ độ điểm $C\left( {4;10;0} \right).$
Ý b: Phương trình mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là $\frac{x}{4} + \frac{y}{{10}} - \frac{z}{{3{,}5}} = 1$ .
Ý c: Toạ độ của vectơ $\overrightarrow {SC}$ là $\left( {4;10; - 3{,}5} \right)$ .
Ý d: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) là $20^\circ$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có

40\%

người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là

70\% ,

trong những người không bị bệnh tiểu đường là

25\%

. Chọn ngẫu nhiên 1 người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.

Ý a: Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.
Ý b: Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7.
Ý c: Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,75.
Ý d: Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho tứ diện đều $SABC$ cạnh 10 cm. Gọi $E,F,P$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $SA,SB,SC$ sao cho $SE = \frac{2}{3}SA,SF = \frac{2}{3}SB,SP = \frac{2}{3}SC$ . Tính thể tích của khối chóp cụt đều $ABC.EFP$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị centimét khối).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA ô tô nhà thầy Anh. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ , đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng $2{,}6\,\,{\rm{m}}$ . Biết kích thước xe ô tô là $5{\rm{\;m}} \times 1{,}9{\rm{\;m}}$ . Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài $5\,\,{\rm{m}}$ , chiều rộng $1{,}9\,\,{\rm{m}}$ . Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu mét để ô tô có thể đi vào GARA được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Cự li (m)	$\left[ {19;19{,}5} \right)$	$\left[ {19{,}5;20} \right)$	$\left[ {20;20{,}5} \right)$	$\left[ {20{,}5;21} \right)$	$\left[ {21;21{,}5} \right)$
Tần số	13	45	24	12	6

Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Một thùng dầu bị rò rỉ từ lúc 13 giờ với tốc độ rò rỉ là

v\left( t \right) = 16 + 3t

(lít/giờ), trong đó

t

(giờ) là thời gian tính từ khi bắt đầu bị rò rỉ. Khi đó

V\left( t \right)

(lít) là thể tích dầu bị mất đi thỏa mãn

V'\left( t \right) = v\left( t \right)

. Giả sử

{V_1}

là thể tích dầu bị mất đi trong khoảng thời gian từ 13 giờ đến 16 giờ và

{V_2}

là thể tích dầu bị mất đi trong khoảng thời gian từ 16 giờ đến 19 giờ. Tính

{V_2} - {V_1}

(theo đơn vị lít).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài

4{\rm{\;m}}

;

4{,}4{\rm{\;m}}

;

4{,}8{\rm{\;m}}

. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

0,5 điểm

Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không đọc quảng cáo cũng mua loại tủ lạnh X. Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Làm bài

Đề cùng chủ đề

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 25) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Lê Hồng Phong (Thái Nguyên) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Quảng Ninh 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Sơn La - Lần 3 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 46) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy

Tất cả đề Đề tham khảo Tốt nghiệp Toán 2026-2027 · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT