Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 31)

Hàm số không có giá trị lớn nhất do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 5$.

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ tại $x = - 1$.

Hàm số có hai điểm cực trị là $x = - 1$ và $x = 2$ (đạo hàm đổi dấu).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 5$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = 5$ và $y = - 1$. Chọn D.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ nên $x = - 1$ là đường tiệm cận đứng.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2$ nên $y = 2$ là đường tiệm cận ngang.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1$ nên $y = - 1$ là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 đường tiệm cận. Chọn C.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = x + 1$. Chọn D.

Ta có $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 3\int\limits_0^9 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2 \cdot 37 + 3 \cdot 16 = 122$.

Chọn A.

Ta có: $4 \cdot {\left( {42{,}5 - 53{,}18} \right)^2} + 14 \cdot {\left( {47{,}5 - 53{,}18} \right)^2} + 8 \cdot {\left( {52{,}5 - 53{,}18} \right)^2} +$

$+ 10 \cdot {\left( {57{,}5 - 53{,}18} \right)^2} + 6 \cdot {\left( {62{,}5 - 53{,}18} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {67{,}5 - 53{,}18} \right)^2} = 2029{,}5456.{\rm{ }}$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s^2} = \frac{{2029{,}5456}}{{44}} \approx 46{,}1$. Chọn B.

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {2;1;0} \right)$, đi qua điểm $B\left( {0;1;2} \right)$ nên mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {2;1;0} \right)$ và có bán kính $R = AB$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;0;2} \right)$. Suy ra $R = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2\sqrt 2$.

Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8$. Chọn B.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)$.

b) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0} = - 1$.

c) Đúng. Vì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;\,\,1} \right)$ nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng này.

d) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1\,;\,0} \right]$ bằng $- 1$.

a) Đúng. Ta có $S\left( t \right)$ là một nguyên hàm của $S'\left( t \right)$.

b) Sai. Có $\int {S'\left( t \right){\rm{d}}t = } \int {1{,}2698{{\rm{e}}^{0{,}014t}}{\rm{d}}t} = 1{,}2698\int {{{\left( {{{\rm{e}}^{0{,}014t}}} \right)}^t}} {\rm{d}}t = \frac{{1{,}2698{{\rm{e}}^{0{,}014t}}}}{{0{,}014}} + C = 90{,}7{{\rm{e}}^{0{,}014t}} + C$.

Vì $S\left( 0 \right) = 90{,}7$ nên $C = 0$. Suy ra $S\left( t \right) = 90{,}7{{\rm{e}}^{0{,}014t}}$.

c) Đúng. Tốc độ tăng dân số ở nước ta năm 2034 là:

$S'\left( {20} \right) = 1{,}2698{{\rm{e}}^{0{,}014 \cdot 20}} \approx 1{,}7$ (triệu người/năm).

d) Đúng. Dân số nước ta năm 2034 là: $S\left( {20} \right) = 90{,}7{{\rm{e}}^{0{,}014 \cdot 20}} \approx 120$ (triệu người).

a) Đúng. Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {AD} = \left( {0;10;0} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {x - 4;y;z} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$. Suy ra $C\left( {4\,;\,10\,;\,0} \right)$.

b) Sai. Ta có $B\left( {4;\,0;\,0} \right),\,D\left( {0;10;0} \right),\,S\left( {0;0;3{,}5} \right)$ lần lượt thuộc các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{3{,}5}} = 1 \Leftrightarrow 35x + 14y + 40z - 140 = 0.$

c) Đúng. Ta có $\overrightarrow {SC} = \left( {4;10; - 3{,}5} \right)$.

d) Sai. Có $\overrightarrow n = \left( {35\,;\,14\,;\,40} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Khi đó, $\sin \left( {SC\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|\, \cdot \,\left| {\,\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot \,35 + 10\, \cdot \,14 + \left( { - \,3{,}5} \right) \cdot 40} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{10}^2} + {{\left( { - \,3{,}5} \right)}^2}} \cdot \,\sqrt {{{35}^2} + {{14}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{{280\sqrt {53} }}{{9\,\,063}}$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ khoảng $13^\circ$.

Xét các biến cố $A$: “Chọn được người bị bệnh tiểu đường”;

$B$: “Chọn được người bị bệnh huyết áp cao”.

a) Đúng. Vì có $40\%$ người cao tuổi bị bệnh tiểu đường nên $P\left( A \right) = 40\% = 0{,}4$.

b) Đúng. Vì số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là $70\%$ nên $P\left( {B|A} \right) = 70\% = 0{,}7$.

c) Sai. Vì số người bị bệnh huyết áp cao trong những người không bị bệnh tiểu đường là $25\%$ nên $P\left( {B|\overline A } \right) = 25\% = 0{,}25.$

d) Sai. Ta có $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 + 0{,}6 \cdot 0{,}25 = 0{,}43$.

Vậy xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,43.

Đáp án: 82,9.

Gọi $O,I$ lần lượt là tâm của các tam giác $ABC,EFP$.

Ta có $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}$ và $OI = \frac{{SO}}{3} = \frac{{10\sqrt 6 }}{9}$.

${S_{ABC}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{4}$ và ${S_{EFP}} = \frac{4}{9}{S_{ABC}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{9}$.

Thể tích của khối chóp cụt đều $ABC.EFP$ là

${V_{ABC.EFP}} = \frac{1}{3}OI\left( {{S_{ABC}} + {S_{EFP}} + \sqrt {{S_{ABC}} \cdot {S_{EFP}}} } \right)$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{{10\sqrt 6 }}{9}\left( {\frac{{100\sqrt 3 }}{4} + \frac{{100\sqrt 3 }}{9} + \sqrt {\frac{{100\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{100\sqrt 3 }}{9}} } \right) = \frac{{19000\sqrt 2 }}{{324}} \approx 82{,}9{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}$.

Đáp án: 3,7.

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ trên. Khi đó $M\left( { - 2{,}6;x} \right)$.

Gọi $B\left( { - a;0} \right)$ suy ra $A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)$.

Phương trình $AB:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0$.

Do $CD\,{\rm{//}}\,AB$ nên phương trình $CD:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0$.

Mà khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng 1,9 nên

$\frac{{\left| {T - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1{,}9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9{,}5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}$.

Điều kiện để ô tô đi qua được là $M,O$ nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng $CD$.

Suy ra $\frac{{ - 2{,}6}}{{ - a}} + \frac{x}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9{,}5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9{,}5}}{a} - \frac{{2{,}6 \cdot \sqrt {25 - {a^2}} }}{a}$.

Xét hàm số $f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9{,}5}}{a} - \frac{{2{,}6 \cdot \sqrt {25 - {a^2}} }}{a}(0 < a < 5)$.

Xét hàm số $f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9{,}5}}{a} - \frac{{2{,}6 \cdot \sqrt {25 - {a^2}} }}{a}$, ($0 < a < 5$).

Ta có $f'\left( a \right) = \frac{{ - {a^3} - 9{,}5\sqrt {25 - {a^2}} + 65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }}$.

Đặt $g\left( a \right) = - {a^3} - 9{,}5\sqrt {25 - {a^2}} + 65$. Ta có $g\left( a \right) = 0$ khi $a = 3$.

Bảng biến thiên:

Khảo sát hàm số trên ta được giá trị lớn nhất của $f\left( a \right)$ bằng $f\left( 3 \right) \approx 3{,}7.$

Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên xấp xỉ $3{,}7{\rm{\;m}}$ thì ô tô có thể đi vào GARA.

Đáp án: 0,28.

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là $n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar x = \frac{{13 \cdot 19{,}25 + 45 \cdot 19{,}75 + 24 \cdot 20{,}25 + 12 \cdot 20{,}75 + 6 \cdot 21{,}25}}{{100}} = 20{,}015$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$${s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13 \cdot {{\left( {19{,}25} \right)}^2} + 45 \cdot {{\left( {19{,}75} \right)}^2} + 24 \cdot {{\left( {20{,}25} \right)}^2}} \right.\left. { + 12 \cdot {{\left( {20{,}75} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {21{,}25} \right)}^2}} \right] - {\left( {20{,}015} \right)^2}$$

$\approx 0{,}28$.

Đáp án: $27$.

Ta có $V'\left( t \right) = v\left( t \right) \Rightarrow V\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t}$.

Thể tích dầu bị mất đi trong khoảng thời gian từ 13 giờ đến 16 giờ là

${V_1} = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^3 {\left( {16 + 3t} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {16t + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = 61{,}5$ (lít).

Thể tích dầu bị mất đi trong khoảng thời gian từ 16 giờ đến 19 giờ là

${V_2} = \int\limits_3^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_3^6 {\left( {16 + 3t} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {16t + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_3^6 = 88{,}5$ (lít).

Do đó ${V_2} - {V_1} = 88{,}5 - 61{,}5 = 27$ (lít).

Đáp án: 21,8.

Gọi 3 vị trí trên mặt nước là $A{\rm{,}}\,B{\rm{,}}\,C$ thì tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng $2{\rm{\;m}}$. Gọi dây dọi lần lượt là $AA',BB',CC'$ có độ dài lần lượt là $4{\rm{\;m}}$; $4{,}4{\rm{\;m}}$; $4{,}8{\rm{\;m}}$.

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, sao cho O là trung điểm của BC, tia Ox chứa điểm A, tia Oy chứa điểm B, tia Oz đi qua trung điểm của $B'C'$ và đơn vị trên các trục là mét.

Ta có $OB = OC = 1,{\rm{\;}}OA = \sqrt 3 \Rightarrow A'\left( {\sqrt 3 ;0;4} \right),{\rm{\;}}B'\left( {0;1;4{,}4} \right),{\rm{\;}}C'\left( {0; - 1;4{,}8} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0{,}4} \right),{\rm{\;}}\overrightarrow {A'C'} = \left( { - \sqrt 3 ; - 1;0{,}8} \right).$

Mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = 0{,}4\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 ;1;5} \right).$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$.

Do đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec k} \right)} \right| = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$. Góc cần tìm gần bằng $21{,}8^\circ$.

Đáp án: 0,9.

Xét các biến cố $A$: “Người đó đọc quảng cáo”;

$B$: “Người đó mua tủ lạnh X”.

Theo bài ra, ta có: $P\left( A \right) = 80\% = 0{,}8$; $P\left( {B|A} \right) = 30\% = 0{,}3$; $P\left( {B|\bar A} \right) = 10\% = 0{,}1$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right) = 0{,}8 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}26$.

Theo công thức Bayes, ta tính được xác suất để một người tiêu dùng đã mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo là: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}8 \cdot 0{,}3}}{{0{,}26}} = \frac{{12}}{{13}} \approx 0{,}9$.