Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 24)

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

Hình minh hoạ

Đáp án A: $x = - 1$ .
Đáp án B: $x = 1$ .
Đáp án C: $x = 2$ .
Đáp án D: $x = - 4$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

x = 1

. Chọn B.

Câu 2

0,25 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $x = 1.$
Đáp án B: $x = - 1.$
Đáp án C: $y = 1.$
Đáp án D: $y = - 1.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

x = - 1.

Chọn B.

Câu 3

0,25 điểm

Cho hai biến cố

A

và

B.

Xác suất của biến cố

A

với điều kiện biến cố

B

đã xảy ra được gọi là xác suất của

A

với điều kiện

B,

kí hiệu là

P\left( {A\mid B} \right)

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án A: Nếu $P\left( A \right) > 0$ thì $P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}}.$
Đáp án B: Nếu $P\left( B \right) > 0$ thì $P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}.$
Đáp án C: Nếu $P\left( {AB} \right) > 0$ thì $P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( {AB} \right)}}.$
Đáp án D: Nếu $P\left( {AB} \right) > 0$ thì $P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( B \right)}}{{P\left( {AB} \right)}}.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Công thức tính xác suất của biến cố

A

khi biết biến cố

B

đã xảy ra

\left( {P\left( B \right) > 0} \right)

là:

P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}

. Chọn B.

Câu 4

0,25 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right)

là một nguyên hàm của hàm số

y = {x^4}.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án A: $f\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} + C.$
Đáp án B: $f\left( x \right) = 4{x^3}.$
Đáp án C: $f\left( x \right) = {x^5} + C.$
Đáp án D: $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Phát biểu đúng là:

f\left( x \right) = \int {{x^4}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^5}}}{5} + C.

Chọn A.

Câu 5

0,25 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, không âm trên đoạn $\left[ {a;\;\;b} \right]$ như hình bên*.* Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trục hoành và hai đường thẳng $x = a,\;\;x = b$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:

Hình minh hoạ

Đáp án A: $V = \pi \int\limits_b^a {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x.$
Đáp án B: $V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x.$
Đáp án C: $V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x.$
Đáp án D: $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Công thức đúng là:

V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x.

Chọn D.

Câu 6

0,25 điểm

Xét mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai, tứ phân vị thứ ba lần lượt là

{Q_1},\;\;{Q_2}

và

{Q_3}.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

Đáp án A: ${Q_2} - {Q_1}.$
Đáp án B: ${Q_3} - {Q_2}.$
Đáp án C: ${Q_3} - {Q_1}.$
Đáp án D: ${Q_3} - 2{Q_2} + {Q_1}.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Thời gian (phút) đọc sách mỗi ngày của $60$ học sinh được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	$\left[ {10;15} \right)$	$\left[ {15;20} \right)$	$\left[ {20;25} \right)$	$\left[ {25;30} \right)$	$\left[ {30;35} \right)$
Số học sinh	3	10	12	15	20

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn đến hàng phần trăm) là?

Đáp án A: $6{,}18$ .
Đáp án B: $7{,}2$ .
Đáp án C: $5{,}3$ .
Đáp án D: $6{,}45$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $45{\rm{\;cm}},43{\rm{\;cm}}{\rm{,}}$ $41{\rm{\;cm}}, \ldots ,31{\rm{\;cm}}$ (chiều dài các thanh ngang này tạo thành cấp số cộng). Tìm công sai của cấp số cộng trên.

Hình minh hoạ

Đáp án A: $3$ .
Đáp án B: $1$ .
Đáp án C: $2$ .
Đáp án D: $- 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Chỉ số hay độ

{\rm{pH}}

của một dung dịch được tính theo công thức:

{\rm{pH}} = - \log \left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right]

với

\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right]

là nồng độ ion hydrogen. Độ

{\rm{pH}}

của một loại sữa có

\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right] = {10^{ - 6{,}8}}

là bao nhiêu?

Đáp án A: $- 6{,}8.$
Đáp án B: $68.$
Đáp án C: $6{,}8.$
Đáp án D: $0{,}68.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz,

phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

Đáp án A: $2x + {y^2} + z + 1 = 0.$
Đáp án B: ${x^2} + y + z + 2 = 0.$
Đáp án C: $2x + y + z + 3 = 0.$
Đáp án D: $2x + y + {z^2} + 4 = 0.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho ba điểm

A\left( { - 1;2;1} \right)

B\left( {2; - 1;3} \right)

C\left( { - 2;1;2} \right)

. Đường thẳng đi qua

A

đồng thời vuông góc với

BC

và trục

Oy

có phương trình là

Đáp án A: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = 1 + 4t\end{array} \right.$ .
Đáp án B: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 2\\z = 1 + 4t\end{array} \right.$ .
Đáp án C: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 0\\z = 1 - 4t\end{array} \right.$ .
Đáp án D: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 + 4t\end{array} \right.$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

I\left( {1\,;\,4\,;\,0} \right)

. Mặt cầu

\left( S \right)

tâm

I

và đi qua

M\left( {1\,;\,4\,;\, - 2} \right)

có phương trình là

Đáp án A: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 4$ .
Đáp án B: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 2$ .
Đáp án C: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 4$ .
Đáp án D: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{cx + d}}$ đạt cực đại tại $x = 0$ và có đồ thị như hình vẽ sau:

Hình minh hoạ

Ý a: Giá trị của biểu thức $a + b + c + d = 0.$
Ý b: Hàm số đồng biến trên $\left( { - 1;0} \right).$
Ý c: Gọi $A,B$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số; $M$ là điểm di động trên trục $Ox$ sao cho góc $\widehat {AMB}$ không tù. Giá trị nhỏ nhất của hoành độ điểm $M$ là 3.
Ý d: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có phương trình: $y = x - 1.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Một người điều khiển ô tô đang ở trên đường cao tốc muốn tách làn ra khỏi đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm tách làn 320 m, tốc độ của ô tô là

{\rm{90 km/h}}

. Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu giảm tốc với tốc độ

v\left( t \right) = at + b{\rm{ }}({\rm{m/s}})

với

\left( {a,b \in \mathbb{R},a < 0} \right)

, trong đó

t

là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc. Biết rằng ô tô tách khỏi làn đường cao tốc sau 10 giây và duy trì sự giảm tốc trong 20 giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc.

Ý a: Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi tách khỏi làn đường cao tốc bằng 220 m.
Ý b: Giá trị của $b$ là 20.
Ý c: Quãng đường $S\left( t \right)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $\left( {0 \le t \le 20} \right)$ kể từ khi giảm tốc được tính theo công thức $S\left( t \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right){\rm{d}}t}$ .
Ý d: Sau 20 giây kể từ khi giảm tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $50{\rm{ km/h}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Một đội tuyển thi bắn súng có 10 xạ thủ, bao gồm 4 xạ thủ hạng $I$ và 6 xạ thủ hạng $II$ . Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ hạng $I$ và hạng $II$ lần lượt là $0{,}75$ và $0{,}6$ . Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó chỉ bắn 1 viên đạn.

Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được xạ thủ hạng $I$ ”;

$B$ là biến cố: “Viên đạn đó trúng mục tiêu”.

Ý a: $P\left( A \right) = 0{,}4.$
Ý b: $P\left( {\overline B \mid A} \right) = 0{,}75$ và $P\left( {\overline B \mid \overline A \,} \right) = 0{,}6.$
Ý c: $P\left( B \right) = 0{,}7$ .
Ý d: Trong số những viên đạn bắn trúng mục tiêu, xác suất để viên đạn của xạ thủ loại $II$ là $\frac{5}{{11}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ

Oxyz

với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ

\left( {0\,; - \,3\,;\, - 1} \right)

, cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là

10

mét. Một người di chuyển theo phương thẳng từ vị trí

N\left( {7;10; - 4} \right)

đến vị trí

M\left( {5\,;\,0\,;\,2} \right)

để nhận nguồn âm, biết rằng nguồn âm phát ở cường độ tai người nghe thấy được.

Ý a:
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn là
${x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100$ .
Ý b: Tại điểm $M\left( {5\,;\,0\,;\,2} \right)$ sẽ nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm trên.
Ý c: Đoạn đường người đó di chuyển nằm trên đường thẳng có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 5t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$ .
Ý d: Khi người đó di chuyển từ $N$ đến $M$ thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là $A\left( {\frac{{118}}{{35}}; - \frac{{57}}{7};\frac{{241}}{{35}}} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh $1$ m như hình vẽ dưới đây.

Hình minh hoạ

Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$ m. Khoảng cách từ đỉnh $S$ tới mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 6 }}{b}$ m, với $a,\,b$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức ${b^2} - {a^2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Tục truyền rằng, vào thế kỷ thứ 6 sau Công nguyên, vị hiền triết tên là Brahmagupta là người phát minh ra bàn cờ vua. Nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Brahmagupta xin nhà vua: “Tâu bệ hạ, thần chỉ xin một thứ. Xin bệ hạ hãy cho thần một hạt gạo cho ô vuông đầu tiên trên bàn cờ, hai hạt gạo cho ô vuông thứ hai, bốn hạt gạo cho ô vuông thứ ba, và cứ thế nhân đôi số hạt gạo cho mỗi ô vuông tiếp theo”. Vua Ấn Độ nghĩ rằng đây là một yêu cầu rất đơn giản và ông đồng ý. Tuy nhiên, khi các quan chức của nhà vua bắt đầu đếm số hạt gạo, họ thấy không thể đáp ứng được yêu cầu của Brahmagupta. Số hạt gạo cho ô vuông thứ 64 là một con số khổng lồ. Vua Sissa nhận ra rằng Brahmagupta đã dạy ông một bài học quý giá về tầm quan trọng của sự suy nghĩ cẩn thận và hậu quả của những hành động của mình. Biết số gạo cho ô thứ 64 là

N \times {10^{16}}

hạt. Tích các chữ số phần nguyên của

N

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Một cửa hàng bán được trung bình

100

chiếc tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một chiếc. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu giảm giá bán mỗi chiếc 500 nghìn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 chiếc mỗi tháng. Hỏi cửa hàng nên bán mỗi chiếc với giá bao nhiêu triệu đồng để doanh thu một tháng là lớn nhất?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh ${A_1},\;{A_2},\;{B_1},\;{B_2}$ như hình vẽ bên dưới.

Hình minh hoạ

Biết chi phí để sơn phần tô đậm là $200\;000\,$ đồng/m $^{2}$ và phần còn lại $100\;000$ đồng/m $^{2}$ . Biết ${A_1}{A_2} = 8\;\,{\rm{m}}$ , ${B_1}{B_2} = 6{\rm{\;m}}$ và tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật có $MQ = 3{\rm{\;m}}$ . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị: triệu đồng) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Khi đặt hệ tọa độ

Oxyz

vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu

\left( S \right)

(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu

\left( S \right)

có phương trình

{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

0,5 điểm

Trong

1000

hồ sơ của các thí sinh dự thi vào trường đại học

Z

có

600

hồ sơ của thí sinh tỉnh

A

và

400

thí sinh tỉnh

B

. Trong số thí sinh tỉnh

A

có

25\%

trúng tuyển, tỉnh

B

có

65\%

không trúng tuyển. Rút ngẫu nhiên một hồ sơ được hồ sơ trúng tuyển. Xác suất để hồ sơ đó là của người tỉnh

A

bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Làm bài

Đề cùng chủ đề

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 25) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Lê Hồng Phong (Thái Nguyên) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Quảng Ninh 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Sơn La - Lần 3 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 46) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy

Tất cả đề Đề tham khảo Tốt nghiệp Toán 2026-2027 · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT