Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 24)

Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là:

$\bar x = \frac{{3 \cdot 12{,}5 + 10 \cdot 17{,}5 + 12 \cdot 22{,}5 + 15 \cdot 27{,}5 + 20 \cdot 32{,}5}}{{60}} = 25{,}75$.

Phương sai của mẫu số liệu đã cho là:

${s^2} = \frac{1}{{60}}\left[ {3 \cdot {{\left( {12{,}5 - \bar x} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {17{,}5 - \bar x} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {22{,}5 - \bar x} \right)}^2} + 15 \cdot {{\left( {27{,}5 - \bar x} \right)}^2} + 20 \cdot {{\left( {32{,}5 - \bar x} \right)}^2}} \right]$

$= 38{,}1825$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho là $s = \sqrt {{s^2}} \approx 6{,}18$. Chọn A.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

$Ax + By + Cz + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2;1} \right)$, $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 1;0;4} \right)$.

Đường thẳng đi qua $A$ đồng thời vuông góc với $BC$ và trục $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;0;4} \right)$ nên có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 2\\z = 1 + 4t\end{array} \right.$. Chọn B.

Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} = 2$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 4$. Chọn A.

a) Đúng. Xét hàm số có đồ thị $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{cx + d}}$ nhận đường $x = 1$ làm tiệm cận đứng và cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 1} \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}c + d = 0\\\frac{1}{d} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\d = - 1\end{array} \right..$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên $y = x$.

Ta có $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + 1}}{{x - 1}} = ax + b + a + \frac{{a + b + 1}}{{x - 1}}$.

Nên tiệm cận xiên là đường $y = ax + b + a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.$.

Do đó ta có $a + b + c + d = 1 - 1 + 1 - 1 = 0.$

b) Đúng. Từ đồ thị ta nhận thấy trong khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ đồ thị hàm số là đường liền nét đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên $\left( { - 1;0} \right).$

c) Sai. Ta có $y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..$

$$f\left( 0 \right) = - 1;f\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow A\left( {0; - 1} \right);B\left( {2;3} \right).$$

Gọi $M\left( {t;0} \right) \in Ox$. Khi góc $AMB$ không tù thì $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \ge 0.$

$$\overrightarrow {MA} = \left( { - t; - 1} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {2 - t;3} \right) \Rightarrow - t\left( {2 - t} \right) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 3\\t \le - 1\end{array} \right..$$

d) Sai. Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là: $A\left( {0; - 1} \right);B\left( {2;3} \right).$

Đường thẳng $y = x - 1$ không đi qua $B\left( {2;3} \right).$

a) Đúng. Tốc độ ban đầu của ô tô là 90 km/h = 25 m/s.

Quãng đường ô tô đi được trong 4 giây đầu tiên là: ${S_1} = 4 \cdot 25 = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi tách khỏi làn đường cao tốc là:

${S_2} = 320 - 100 = 220\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

b) Sai. Thời điểm bắt đầu giảm tốc ta có $t = 0,\,\,v\left( 0 \right) = 25 \Rightarrow b = 25$.

c) Sai. Quãng đường $S\left( t \right)$ ô tô đi được trong thời gian t giây kể từ lúc bắt đầu giảm tốc $\left( {0 \le t \le 20} \right)$ được tính theo công thức $S\left( t \right) = \int\limits_0^t {v\left( t \right){\rm{d}}t}$.

d) Đúng. Ta có $v\left( t \right) = at + 25\,\,\,({\rm{m/s}})$.

Biết xe tách làn sau 10 giây kể từ khi giảm tốc, nên ta có

$220 = \int\limits_0^{10} {\left( {at + 25} \right){\rm{d}}t} = 50a + 250 \Rightarrow a = - \frac{3}{5}$$\Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{3}{5}t + 25{\rm{ (m/s)}}$.

Tốc độ của ô tô sau 20 giây là: $v\left( {20} \right) = - \frac{3}{5} \cdot 20 + 25 = 13{\rm{ m/s}}\,\,{\rm{ = }}\,\,{\rm{46}}{\rm{,8}}\,\,{\rm{km/h}}\,{\rm{ < }}\,{\rm{50}}\,\,{\rm{km/h}}$.

a) Đúng. Ta có $P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = 0{,}4$, $P\left( {\bar A} \right) = \frac{6}{{10}} = 0{,}6$.

b) Sai. Theo bài ra ta có: $P\left( {B\mid A} \right) = 0{,}75$; $P\left( {B\mid \overline A \,} \right) = 0{,}6$. Suy ra $P\left( {\overline B \mid \overline A \,} \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.$

c) Sai. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0{,}4 \cdot 0{,}75 + 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}66$.

Vậy xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu là $0{,}66$.

d) Sai. Ta cần tính $P\left( {\bar A\mid B} \right)$.

Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {\bar A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right)P\left( {B\mid \bar A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}6 \cdot 0{,}6}}{{0{,}66}} = \frac{6}{{11}}$.

a) Sai. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn là${x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 100$.

b) Đúng. Khoảng cách từ vị trí có tọa độ $\left( {5\,;\,0\,;\,2} \right)$ đến nguồn âm là:

$$d = \sqrt {{{\left( {5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {43} < 10$$

Vậy tại vị trí có tọa độ $\left( {5\,;\,0\,;\,2} \right)$ có thể nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm.

c) Đúng. Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {2;10; - 6} \right)$, chọn $\overrightarrow u = \left( { - 1; - 5;3} \right)$ là vectơ chỉ phương; đường thẳng đi qua điểm $M\left( {5\,;\,0\,;\,2} \right)$ nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 5t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$.

d) Sai. $A$ thuộc $MN$ nên $A\left( {5 - t; - 5t;2 + 3t} \right)$.

Mặt khác$A$ thuộc $\left( S \right)$ nên ${\left( {5 - t} \right)^2} + {\left( { - 5t + 3} \right)^2} + {\left( {2 + 3t + 1} \right)^2} = 100$

$$\Leftrightarrow {\left( {5 - t} \right)^2} + {\left( {3 - 5t} \right)^2} + {\left( {3 + 3t} \right)^2} = 100$$

$$\Leftrightarrow 25 - 10t + {t^2} + 9 - 30t + 25{t^2} + 9 + 18t + 9{t^2} = 100$$

$\Leftrightarrow 35{t^2} - 22t - 57 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{{57}}{{35}}\end{array} \right.$.

Với $t = \frac{{57}}{{35}} \Rightarrow A\left( {\frac{{118}}{{35}}; - \frac{{57}}{7};\frac{{241}}{{35}}} \right)$.

Với $t = - 1 \Rightarrow A\left( {6;5; - 1} \right)$, khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( { - 1; - 5;3} \right);\overrightarrow {AN} = \left( {1;5; - 3} \right)$ là hai vectơ đối nhau phù hợp với điểm $A$ ở giữa $MN$ nên điểm $A$ này mới chính là điểm đầu tiên nhận được nguồn âm.

Đáp án: 35.

Khi gập tấm nhôm ta thấy $S \equiv S'$.

Ta có $LH = AB = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ (m), suy ra $OL = OH = \frac{1}{2}LH = \frac{{\sqrt 2 }}{6}$ (m).

Có $SS' = \sqrt 2 \Rightarrow S'O = SO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$(m). Khi đó, $SH = S'L = S'O - OL = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ (m).

Do đó, $SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$ (m).

Suy ra $a = 1,\,b = 6$ thì ${b^2} - {a^2}$ đạt giá trị bằng $35$.

Đáp án: 36.

Bàn cờ vua có 64 ô vuông. Việc đặt 1 hạt gạo vào ô vuông đầu tiên, 2 hạt vào ô vuông thứ hai, 4 hạt cho ô thứ ba và cứ thế nhân đôi số hạt gạo cho mỗi ô vuông tiếp theo như vậy sẽ cho ra một dãy cấp số nhân với ${u_1} = 1,q = 2$.

Khi đó ${u_{64}} = {u_1}{q^{63}} = {2^{63}} \approx 9{,}223372037 \cdot {10^8} = 922{,}3372037 \cdot {10^{16}}$ .

Vậy tích các chữ số phần nguyên của $N$ là $9 \cdot 2 \cdot 2 = 36$.

Đáp án: 9,5.

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền cần giảm cho mỗi chiếc tivi (điều kiện: $0 < x < 14$).

Số lượng tivi bán sau khi giảm giá là: $100 + 20x.$

Doanh thu của cửa hàng sau khi giảm giá là: $\left( {100 + 20x} \right)\left( {14 - x} \right)$ (triệu đồng).

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {100 + 20x} \right)\left( {14 - x} \right)$ với $0 < x < 14.$

Ta có $f'\left( x \right) = - 40x + 180;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4{,}5.$

Bảng biến thiên:

Vậy cửa hàng nên bán mỗi chiếc tivi với giá $14 - 4{,}5 = 9{,}5$ (triệu đồng).

Đáp án: 7,3.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên.

Gọi phương trình chính tắc của elip $\left( E \right)$ có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Với $\left\{ \begin{array}{l}{A_1}{A_2} = 8 = 2a\\{B_1}{B_2} = 6 = 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \frac{3}{4}\sqrt {16 - {x^2}}$.

Suy ra diện tích của hình elip là ${S_{\left( E \right)}} = \pi a \cdot b = 12\pi \,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vì $MNPQ$ là hình chữ nhật và $MQ = 3 \Rightarrow M\left( {x;\frac{3}{2}} \right) \in \left( E \right)$.

$\Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow {x^2} = 12 \to M\left( { - 2\sqrt 3 ;\frac{3}{2}} \right);N\left( {2\sqrt 3 ;\frac{3}{2}} \right)$.

Gọi ${S_1};{S_2}$ lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu.

Ta có ${S_2} = 4 \cdot \frac{3}{4}\int\limits_{2\sqrt 3 }^4 {\sqrt {16 - {x^2}} {\rm{d}}x} = 3\int\limits_{2\sqrt 3 }^4 {\sqrt {16 - {x^2}} {\rm{d}}x} = 4\pi - 6\sqrt 3 \,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Suy ra ${S_1} = {S_{\left( E \right)}} - {S_2} = 8\pi + 6\sqrt 3$. Gọi $T$ là tổng chi phí. Khi đó ta có:

$T = \left( {4\pi - 6\sqrt 3 } \right) \cdot 100 + \left( {8\pi + 6\sqrt 3 } \right) \cdot 200 \approx 7\,322$ (nghìn đồng).

Từ đó làm tròn thành $7{,}3$ (triệu đồng).

Đáp án: 6.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 5} = 3$.

Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là: $2R = 2 \cdot 3 = 6$ (km).

Đáp án: 0,52.

Gọi $X$ là biến cố: “Rút được hồ sơ của thí sinh tỉnh $A$”;

$Y$ là biến cố: “Rút được hồ sơ trúng tuyển”.

Khi đó, $\overline X$ là biến cố: “Rút được hồ sơ của thí sinh tỉnh $B$”;

$\overline Y$ là biến cố: “Rút được hồ sơ không trúng tuyển”.

Theo bài ra ta có: $P\left( X \right) = \frac{{600}}{{1000}} = 0{,}6;\,\,P\left( {\overline X } \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4;\,\,P\left( {Y|X} \right) = 0{,}25;\,\,P\left( {\overline Y |\overline X } \right) = 0{,}65$.

Suy ra $P\left( {Y|\overline X } \right) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35$.

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( {X|Y} \right) = \frac{{P\left( X \right) \cdot P\left( {Y|X} \right)}}{{P\left( X \right) \cdot P\left( {Y|X} \right) + P\left( {\overline X } \right) \cdot P\left( {Y|\overline X } \right)}} = \frac{{0{,}6 \cdot 0{,}25}}{{0{,}6 \cdot 0{,}25 + 0{,}4 \cdot 0{,}35}} \approx 0{,}52$.