Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 37

1) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó như sau:

1) Kí hiệu: Quả cầu được đánh số từ $1$ đến $12$.

Không gian mẫu là $\Omega = \left\{ {1\,\,;\,\,2\,\,;\,\,3\,\,;\,\,...\,\,;\,\,11\,\,;\,\,12} \right\}$ suy ra $n\left( \Omega \right) = 12$

Kết quả thuận lợi của biến cố $A$: “Chọn được quả cầu có số chia hết cho 3” là $\left\{ {3\,\,;\,\,6\,\,;\,\,9\,\,;\,\,12} \right\}$

suy ra $n\left( A \right) = 4$

Xác suất của biến cố $A$ là : $P\left( A \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$.]

Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} - 2}}{{\sqrt {16} }} = \frac{{4 - 2}}{4} = \frac{1}{2}$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có: $B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{2x}}{{x - 9}}$

$B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 2x}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$\begin{array}{l}B = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 2x}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\B = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\end{array}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$

3) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P < 0$ với $P = A.B$.

Ta có: $P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}$.

Để $P < 0$ thì $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} < 0$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 9\end{array} \right.$ Nên $\sqrt x + 3 > 0$

Do đó: $\sqrt x - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4$.

Kết hợp với điều kiện $x > 0$, ta có: $0 < x < 4$.

Vì $x$ nhận giá trị nguyên nên $x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}$.

1) Đổi $50$ phút $= \frac{5}{6}$ giờ

Gọi tốc độ của xe khách là $x\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ $\left( {x > 0} \right)$

Gọi tốc độ của xe du lịch là $y\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ $\left( {y > 0} \right)$

Vì tốc độ của xe du lịch lớn hơn tốc độ xe khách là $20\,{\rm{km/h}}$ nên ta có phương trình:

$y - x = 20$ $\left( 1 \right)$

Thời gian xe khách đi là $\frac{{100}}{x}\,\left( {\rm{h}} \right)$.

Thời gian xe du lịch đi là $\frac{{100}}{y}\,\left( {\rm{h}} \right)$.

Vì xe du lịch đến $B$ trước xe khách $50$ phút nên ta có phương trình: $\frac{{100}}{y} + \frac{5}{6} = \frac{{100}}{x}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 20\\\frac{{100}}{y} + \frac{5}{6} = \frac{{100}}{x}\end{array} \right.$

Từ $\left( 1 \right)$, suy ra $y = 20 + x$.

Thế $y = 20 + x$ vào $\left( 2 \right)$ ta được:

$\frac{{100}}{{20 + x}} + \frac{5}{6} = \frac{{100}}{x}$

$\frac{{100\,\,.\,\,6x}}{{6x\left( {20 + x} \right)}} + \frac{{5x\left( {20 + x} \right)}}{{6x\left( {20 + x} \right)}} = \frac{{100\,\,.\,\,6\left( {20 + x} \right)}}{{6x\left( {20 + x} \right)}}$

$600x + 100x + 5{x^2} = 12000 + 600x$

$5{x^2} + 100x - 12000 = 0$

${x^2} + 20x - 2400 = 0$

${x^2} + 60x - 40x - 2400 = 0$

$x\left( {x + 60} \right) - 40\left( {x + 60} \right) = 0$

$\left( {x + 60} \right)\left( {x - 40} \right) = 0$

Ta có $\left( {x + 60} \right)\left( {x - 40} \right) = 0$

· $x + 60 = 0$, suy ra $x = - 60$ (không thỏa mãn $x > 0$)

· $x - 40 = 0$, suy ra $x = 40$ (thỏa mãn $x > 0$)

Thay $x = 40$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $y - 40 = 20$, suy ra $y = 60$ (thỏa mãn $y > 0$)

Vậy tốc độ của xe khách là $40\,{\rm{km/h}}$, tốc độ của xe du lịch là $60\,{\rm{km/h}}$.

Gọi thời gian tổ I, tổ II làm một mình xong công việc đó lần lượt là $x,\,\,y$( giờ, $x,\,\,y > 12$)

Năng suất 1 giờ tổ I là: $\frac{1}{x}$(công việc)

Năng suất 1 giờ tổ II là: $\frac{1}{y}$ (công việc)

Năng suất 1 giờ cả hai tổ là : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}$ (công việc) (1)

Vì tổ I làm một mình trong $2$ giờ, tổ II làm một mình trong $7$ giờ thì cả hai làm xong một nửa công việc nên ta có: $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{5}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{60}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 15\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tổ I làm một mình trong 60 giờ thì xong công việc , tổ II làm một mình trong 15 giờ thì xong công việc.