Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 36

Không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega = \left\{ {\left( {1{,}2} \right);\left( {1{,}3} \right);\left( {1{,}4} \right);\left( {2{,}1} \right);\left( {2{,}3} \right);\left( {2{,}4} \right);\left( {3{,}1} \right);\left( {3{,}2} \right);\left( {3{,}4} \right);\left( {4{,}1} \right);\left( {4{,}2} \right);\left( {4{,}3} \right)} \right\}$$

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là $n(\Omega ) = 12$.

Gọi A là biến cố “Lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là $n({\rm{A}}) = 8$.

Xác suất của biến cố A là $p({\rm{A}}) = \frac{{n({\rm{A}})}}{{n(\Omega )}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}$.

a) $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$$A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 2}} = \frac{3}{7}$$

Vậy $A = \frac{3}{7}$ khi $x = 25$.

b) Với $x \ge 0$, $x \ne 4$.

Ta có : $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - 3\sqrt x + 6 - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$

c) Ta có : $P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$

$$\left| P \right| > P$$

TH 1: $P > P$(Vô lí)

TH 2: $- P > P \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} > \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$

$\Rightarrow 1 - \sqrt x > \sqrt x - 1 \Leftrightarrow 2 > 2\sqrt x$

$\Leftrightarrow 1 > \sqrt x \Leftrightarrow 1 > x$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có : $1 > x \ge 0$

Gọi vận tốc của xe tải là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right){\rm{ }}(x > 0)$

$\Rightarrow$ vận tốc của xe khách là $x + 10\,({\rm{km/h}})$

Thời gian đi hết quãng đường của xe tải là $\frac{{132}}{x}\left( h \right)$ và xe khách là $\frac{{132}}{{x + 10}}\left( h \right)$

Vì xe khách đi nhanh hơn xe tải là 1 giờ 6 phút = $\frac{{11}}{{10}}\left( h \right)$

Nên ta có phương trình: $\frac{{132}}{x} - \frac{{132}}{{x + 10}} = \frac{{11}}{{10}}$

$\Rightarrow 132.10\left( {x + 10} \right) - 132.10x = 11x\left( {x + 10} \right)$

$\Rightarrow {x^2} + 10x - 1200 = 0$

Giải phương trình ta được $x = 40$ (loại); ${x_2} = 30$(thỏa mãn)

Vậy vận tốc của xe tải là $30\,{\rm{km/h}}$và xe khách là $40\,{\rm{km/h}}$.

Gọi $x\,\,,\,\,y$ thứ tự là số giờ để vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể $\left( {x > 0\,\,,\,\,y > 0} \right)$.
Ta có $4$ giờ $48$ phút $= \frac{{24}}{5}$ giờ
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể); và thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể) và cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (bể).
Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{\frac{{24}}{5}}}$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}$
Vòi thứ nhất chảy $3$ giờ; vòi thứ hai chảy $4$ giờ được $\frac{3}{4}$ bể, ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{3}{4}$

Vậy, ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}}\\{\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.$
Đặt $u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y}\,\,\left( {u > 0\,\,,\,\,v > 0} \right)$.
Ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u + v = \frac{5}{{24}}}\\{3u + 4v = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3u + 3v = \frac{5}{8}}\\{3u + 4v = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u = \frac{1}{{12}}}\\{v = \frac{1}{8}}\end{array}} \right.$
Ta tìm được: $x = 12\,;y = 8$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0\,\,,\,\,y > 0$.
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong $12$ giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong $8$ giờ đầy bể.